Distributionen und Sobolevräume

Zusammenfassung

Worum geht’s? In diesem Kapitel wird der Ableitungsbegriff verallgemeinert: Funktionen können als Spezialfälle von Distributionen aufgefasst werden, welche als stetige lineare Funktionale auf dem Raum der „Testfunktionen“ defuniert sind. Dadurch wird jede Distribution (unendlich oft) differenzierbar, wobei die Ableitung wiederum im Allgemeinen nur im distributionellen Sinn existiert. Eine wichtige Distribution ist die Dirac-Distribution. Der distributionelle Ableitungsbegriff ist die Grundlage für die Definition der Sobolevräume, welche den kanonischen Definitionsbereich von Differentialoperatoren bilden. Wichtige Sätze aus der Theorie der Sobolevräume sind der Sobolevsche Einbettungssatz und der Auswahlsatz von Rellich & Kondrachov.