Lineare Wellen im Flachwassermodell (FWM)

Zusammenfassung

Die obigen Gleichungen (14.20) bis (14.22) für das FWM wollen wir im Hinblick auf Wellenlösungen studieren. Der Meeresboden sei horizontal (∇ϕ_b = 0); dann kann man in den beiden Bewegungsgleichungen ϕ_s durch ϕ ersetzen:

$$ \frac{{Du}} {{Dt}} - fv + \frac{{\partial \Phi }} {{\partial x}} = 0 $$

((15.1))

$$ \frac{{Du}} {{Dt}} - fu + \frac{{\partial \Phi }} {{\partial y}} = 0 $$

((15.2))

$$ \frac{{D\Phi }} {{Dt}} - \Phi + \left( {\frac{{\partial u}} {{\partial x}} + \frac{{\partial u}} {{\partial y}}} \right) = 0 $$

((15.3))

Dies ist ein nichtlineares Gleichungssystem für die Unbekannten u, v und ϕ. Für Wellenlösungen müssen aber die Gleichungen linear sein. Warum eigentlich? Wenn zwei verschiedene Funktionen Lösungen einer Differenzialgleichung sind, so ist auch jede Linearkombination eine Lösung derselben Gleichung. Dies ist das Superpositionsprinzip. Es besagt, dass Wellen verschiedener Wellenlängen, die sich im Fluid fortpflanzen, sich gegenseitig nicht stören. Wenn man also einen Wellentyp untersucht hat, so ist für diesen die Arbeit erledigt, gleichgültig, ob sich auch noch andere Wellen im Fluid fortpflanzen. Es liegt auf der Hand, wie wichtig dieses Prinzip in der Praxis ist: Nur bei Gültigkeit des Superpositionsprinzips kann man einzelne Wellenvorgänge unabhängig voneinander untersuchen.