Grenzwerte von Differenzenquotienten: die Ableitung

Zusammenfassung

In Teilkapitel 3.1 haben wir ausgehend von absoluten Änderungen einer Funktion f in einem Intervall [a; b] die mittlere Änderungsrate in diesem Intervall betrachtet. Am Funktionsgraphen kann die mittlere Änderungsrate geometrisch-anschaulich als Steigung einer Geraden durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)) gedeutet werden. Rückt die eine Intervallgrenze näher an die andere, etwa b an a, so bekommt man – zumindest bei „übersichtlichen“ Funktionen – eine genauere Information über das Änderungsverhalten von f bei a. Der anschaulich nahe liegende Übergang von der Sekante zur Tangente, bei dem der zweite die Sekante definierende Punkt beliebig nahe an den ersten heranrückt, führt dann zur anschaulichen Definition der lokalen Änderungsrate oder der Ableitung an der Stelle a. Auf eine geometrische Definition von Tangenten können wir bisher allerdings nur für Tangenten an Kreise (aus der Mittelstufengeometrie) zurückgreifen. Im Falle eines Funktionsgraphen ist der Begriff noch vage.