Energiemethoden und Knicken - Verformungen und Kräfte berechnen

Kapitelvorwort

Wie man aus der inneren Energie einer Struktur auf seine Lagerreaktionen schließt.

Wie man die Lagerreaktionen statisch überbestimmt gelagerter Systeme bestimmt.

Wann knicken Stäbe aus?

Auch über die Betrachtung der an einem System verrichteten Arbeit bzw. der in einem System gespeicherten Energie lassen sich in Statik und Festigkeitslehre Lagerreaktionen, Schnittgrößen und Verschiebungen ermitteln. Drei wichtige Anwendungen werden wir kennenlernen: den Arbeitssatz zur Bestimmung von Lagerreaktionen und Schnittgrößen, den Satz von Castigliano zur Bestimmung von Verschiebungen an Kraftangriffspunkten und den Satz von Menabrea zur Bestimmung von Lagerreaktionen.

Mit dem Euler’schen Knicken befassen wir uns schließlich mit einem weiteren Versagensmechanismus, der für schlanke Strukturen unter Druckbeanspruchung von großer Bedeutung ist. Diese können nämlich durch plötzliches Ausknicken bereits bei Spannungen versagen, die deutlich unterhalb der zulässigen Werkstoffspannung liegen.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 6.1

Durch Ableiten: Aus der Definition des Potenzials erhalten wir dann $\vec{F}=-\text{d}\Pi/\text{d}\vec{r}$, bzw. in Koordinaten: $F_{x}=-\text{d}\Pi/\text{d}x$, $F_{y}=-\text{d}\Pi/\text{d}y$ und $F_{z}=-\text{d}\Pi/\text{d}z$.

Antwort 6.2

Da die Kraft F von null beginnend auf den Stab aufgebracht wird, beträgt ihr Mittelwert während der Lastaufbringung genau $\frac{F}{2}$.

Antwort 6.3

Wir könnten A _y als äußere Kraft ansetzen und die Belastung in zwei Lastfälle aufspalten: die Streckenlast $q_{\text{0}}$ und die Punktlast A _y . Dann müssten wir für beide Lastfälle die Durchbiegung des freien Trägerendes berechnen, und wir erhielten A _y durch Gleichsetzen dieser beiden Durchbiegungen.

Antwort 6.4

Die Schienen sind ausgeknickt. Große Hitze setzt die Schienen unter Druckspannung, da diese dann bestrebt sind sich auszudehnen, daran aber von den benachbarten Schienen gehindert werden. Werden die Druckspannungen zu groß, kann der Gleiskörper knicken.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

6.1

• Berechnen Sie mithilfe des Arbeitssatzes die Lagerreaktionen des abgebildeten Trägers.

Resultat:

$$\displaystyle A_{x}=0,\ A_{y}=\frac{F}{3},\ B_{y}=\frac{2}{3}F.$$

6.2

•• Berechnen Sie mithilfe des Arbeitssatzes die Verläufe von Querkraft und Biegemoment von Aufgabe 6.1.

Resultat:

$$\begin{aligned}Q_{\text{I}}&=\frac{F}{3},\ M_{\text{I}}=\frac{1}{3}F\,x.\\ Q_{\text{II}}&=-\frac{2}{3}F,\ M_{\text{II}}=\frac{2}{3}F\,(3l-x).\end{aligned}$$

6.3

••• Für einen 3-Punkt-Biegeträger mit gegebenen Werten für E, I _y und F sind die Durchbiegungen in den Punkten B und C zu berechnen. Der Einfluss der Querkraft kann vernachlässigt werden.

Resultat:

$$\displaystyle w_{\text{B}}=\frac{F\,l^{3}}{48\,E\,I_{y}},\ w_{\text{C}}=\frac{11}{768}\frac{F\,l^{3}}{E\,I_{y}}.$$

6.4

••• Ein Biegeträger der Länge l ist auf drei Lagern abgestützt und trägt eine konstante Streckenlast q ₀. Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Resultat:

$$\displaystyle A_{y}=C_{y}=\frac{3}{16}q_{0}l,\ B_{y}=\frac{5}{8}q_{0}l.$$

6.5

••• Der skizzierte Träger ist im Punkt A fest eingespannt und im Punkt B von der Pendelstütze B-C abgestützt. An seinem freien Ende greift die Vertikalkraft F an. Die Werte von Biegesteifigkeit $E\,I_{y}$ im horizontalen Trägerteil und Dehnsteifigkeit $E\,A$ in der Pendelstütze seien gegeben. Berechnen Sie mit dem Satz von Menabrea die Kraft in der Pendelstütze.

Resultat:

$$\displaystyle\frac{\frac{5}{6}\frac{l^{2}}{I_{y}}}{\frac{l^{2}}{3\,I_{y}}+\frac{1}{A}}\cdot F.$$

6.6

• Ein Kran soll als ebenes Fachwerk mit Vierkantrohren des Querschnitts $50\,\text{mm} \times 50\,\text{mm} \times 4\,\text{mm}$ ($\text{H{\"o}he}\times\text{Breite}\times\text{Wandst{\"a}rke}$) aus Stahl ($E=205.000\,\text{MPa},R_{\text{e}}=300\,\text{MPa}$) gebaut werden. Zu berechnen ist diejenige äußere Kraft F, bei der eine 4-fache Sicherheit gegen Knicken von Stab 1 gewährleistet ist.

• 1. Bestimmen Sie die Stabkraft in Stab 1.

• 2. Berechnen Sie die für den Kran maximal zulässige Kraft $F_{\text{zul}}$, bei der in Stab 1 gerade 4-fache Sicherheit gegen Knicken vorliegt.

Resultat:

$$\displaystyle S_{1}=-F,\ F_{\text{zul}}=33\,\text{kN}.$$

6.7

• Die abgebildete, in den Punkten A und C gelagerte Struktur wird durch die Streckenlast $q_{0}=2\,\text{N}/\text{mm}$ belastet. Zu untersuchen ist die Knickgefährdung des Stützbalkens zwischen den Punkten B und C. Der Stützbalken habe den quadratischen Querschnitt $15\,\text{mm}\times 15\,\text{mm}$. An Materialparametern seien gegeben: $E=205.000\,\text{MPa}$, $R_{\text{e}}=355\,\text{MPa}$

• 1. Berechnen Sie die Lagerreaktionen. Wie groß ist die Druckkraft im Stützbalken B-C?

• 2. Berechnen Sie die vorliegende Sicherheit S gegen Knicken des Stützbalkens.

Resultat:

• 1. $A_{y}=300\,\text{N},\,C_{y}=900\,\text{N}$. Der Stützbalken wird mit der Druckkraft 900 N beansprucht.

• 2. S = 12.

6.8

•• Ein rechteckiger Balken (Länge 500 mm, Querschnitt $10\,\text{mm}\times 20\,\text{mm}$) aus Stahl ($E=205.000\,\text{MPa}$, $R_{\text{e}}=355\,\text{MPa}$) ist an einem Ende fest eingespannt. Am anderen Ende steckt er in einer eng anliegenden Führung. Diese ermöglicht es dem Balken, in vertikale Richtung frei auszuweichen, während ein Ausweichen in horizontale Richtung sowie die entsprechende Winkelbeweglichkeit unterbunden werden. Der Balken wird durch eine Druckkraft F belastet.

• 1. Welche Eulerfälle liegen vor?

• 2. Bei welcher Kraft F knickt der Balken aus?

Hinweis:

Zwei Eulerfälle konkurrieren.

Resultat:

• 1. Eulerfall 1 für vertikales Ausknicken, Eulerfall 4 für horizontales Ausknicken.

• 2. 13,5 kN.