Entwurf im Frequenzbereich – Stabilität und gutes Einschwingen erreichen

Kapitelvorwort

Ist mein geregeltes System stabil?

Welche Regler-Typen gibt es?

Wie lassen sich Regler im Frequenzbereich entwerfen?

Mit den systemtheoretischen Vorarbeiten der letzten Kapitel sind wir nun gerüstet, lineare Regelkreise zu beschreiben und auf Stabilität zu untersuchen. Hierzu werden wir zunächst durch Umformungen des Strukturbildes einer Regelung zu einer einfachen Darstellung eines Regelkreises kommen, dem Standardregelkreis. Wir werden sein Übertragungsverhalten angeben, Stabilitätskriterien kennenlernen und schließlich verschiedene Regelungsentwürfe durchführen. Weil dabei stets mit komplexen Übertragungsfunktionen argumentiert wird und diese für $s=\text{j}\omega$ Frequenzgänge darstellen, spricht man von Frequenzbereichsmethoden.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

40.1

••  Für welche Werte von $k_{\text{R}}$ ist der dargestellte Regelkreis asymptotisch stabil?

Geben Sie die Störübertragungsfunktion $S(s)$ des Regelkreises an. Was ergibt sich laut dem Bode-Theorem für das Integral

$$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\text{ln}\left|S(\text{j}\omega)\right|\,\text{d}\omega$$

unabhängig von $k_{\text{R}}$, und welche Auswirkung hat dies auf den Regelungsentwurf?

Regelkreis

Hinweis:

Berechnen Sie für die Stabilitätsuntersuchung die Systempole.

Resultat: Mit $F_{0}(s)=\frac{0{,}5k_{\text{R}}}{s(1+2s)}$ folgt die charakteristische Gleichung (40.21) zu $0{,}5k_{\text{R}}+s+2s^{2}=0$. Ihre Lösungen (die Systempole) liegen genau dann links, wenn $k_{\text{R}}> 0$. Mit (40.14) ist $S(s)=\frac{1}{1+F_{0}}=\frac{s(1+2s)}{2s^{2}+s+0{,}5k_{\text{R}}}$. Laut Bode-Theorem (40.48) ist das angegebene Integral gleich Null. Jede Verbesserung des Störverhaltens, die durch geeignete Wahl von $k_{\text{R}}$ in einem gewissen Frequenzintervall erreicht werden kann, muss mit einer Verschlechterung in einem anderen Intervall „bezahlt“ werden.

40.2

•••  Gegeben ist das Strukturbild eines Regelkreises wobei in jeden Block die zugehörige komplexe Übertragungsfunktion eingetragen ist.

Formt man diesen Regelkreis in die Standardstruktur um, so erhält man die zweite Abbildung, worin $Z(s)=F_{z}(s)Z^{\prime}(s)$ ist.

• Berechnen Sie die Übertragungsfunktionen $R(s)$, $G(s)$ und $F_{z}(s)$.

• Um welchen Reglertyp $R(s)$ handelt es sich?

• Berechnen Sie die Störübertragungsfunktion $S_{z}(s)$ von z auf y.

• Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktion $T(s)$ und anschließend mithilfe des Endwertsatzes die stationäre Verstärkung der Regelung.

• Beurteilen Sie a) anhand des Blockschaltbildes b) anhand der Übertragungsfunktionen, ob stationäre Genauigkeit des Führungsverhaltens und des Störverhaltens vorliegt.

Strukturbild des betrachteten Regelkreises

Der Regelkreis in Standarddarstellung

Hinweis:

Beachten Sie, dass der Störeingriff verschoben wird, weshalb hier die Übertragungsfunktion $F_{z}(s)$ ins Spiel kommt.

Resultat:

$$\begin{aligned}R(s)&=\dfrac{2s^{2}+3s+1}{s(1+0{,}1s)},\quad\text{ein realer PID-Regler},\\ G(s)&=F_{z}(s)=\dfrac{10}{(1+2s)(1+s)},\\ S_{z}(s)&=\dfrac{1}{1+G(s)R(s)}=\dfrac{10s(1+0{,}1s)}{s^{2}+10s+100},\\ T(s)&=\dfrac{G(s)R(s)}{1+G(s)R(s)}=\dfrac{100}{s^{2}+10s+100}.\end{aligned}$$

Der Regelkreis ist asymptotisch stabil und stationär genau bezüglich Führungs- und Störverhalten.

40.3

••  Gegeben ist die Regelstrecke

$$\displaystyle G(s)=4\frac{(s+1)^{2}}{s(s-10)^{2}}.$$

Die Strecke soll im Standardregelkreis mit einem P-Regler, R = 10, geregelt werden. Dabei ergibt sich die abgebildete Nyquist-Ortskurve des offenen Kreises. Untersuchen Sie die Stabilität der Regelung mit dem Nyquist-Kriterium. Für welche Werte der Reglerverstärkung tritt Instabilität auf?

Nyquist-Ortskurve

Hinweis:

Verwenden Sie das allgemeine Nyquist-Kriterium.

Resultat: Mit einem in Null $(q_{a}=1)$ und zwei rechts gelegenen Polen $(q_{r}=2)$ ist für Stabilität laut (40.40) eine Winkeländerung von $\Delta=\frac{5}{2}\,\pi$ nötig. Sie ist in dem vorliegenden Plot gegeben. Halbiert man die Verstärkung oder wählt sie noch kleiner, so tritt Instabilität auf, also für $R\leq 5$.

40.4

••  Die um einen Arbeitspunkt linearisierte Dynamik der Tauchtiefe $h(t)$ eines U-Bootes wird durch die Differenzialgleichung

$$\displaystyle 2\dddot{h}=-10\ddot{h}+2u$$

beschrieben.

• Zeigen Sie, dass die Übertragungsfunktion $G(s)$ von der Stellgröße u zur Tauchtiefe h lautet:

  $$\displaystyle G(s)=\frac{1}{s^{2}(s+5)}.$$

• Diese Übertragungsfunktion wird mit einem Regler $R(s)$ so ergänzt, dass sich ein offener Regelkreis

  $$\displaystyle F_{0}(s)=\frac{K_{\text{R}}\frac{1}{5}(T_{\text{R}}s+1)}{s^{2}(\frac{1}{5}s+1)}\quad\quad K_{\text{R}},T_{\text{R}}> 0$$

  ergibt. Wie lautet die Übertragungsfunktion $R(s)$ des Reglers und um welchen Reglertyp handelt es sich?

• Bestimmen Sie nun die Reglerparameter $K_{\text{R}}$ und $T_{\text{R}}$ so, dass sich für die Führungsübertragungsfunktion $T(s)$ des geschlossenen Regelkreises ein einfacher Pol in −1 und ein Doppelpol in −2 ergibt. Geben Sie die dann resultierende Übertragungsfunktion $T(s)$ an.

Hinweis:

Lösen Sie die letzte Teilaufgabe mithilfe eines Koeffizientenvergleichs.

Resultat:

$$\begin{aligned}R(s)&=K_{\text{R}}(1+T_{\text{R}}s),\quad\text{ein (idealer) PD-Regler}.\\ K_{\text{R}}&=4,\quad T_{\text{R}}=2,\quad T(s)=\dfrac{8s+4}{s^{3}+5s^{2}+8s+4}.\end{aligned}$$

40.5

••  Für ein Positioniersystem, wie wir es in Gestalt eines Wagens schon in Aufgabe 39.4 kennengelernt und in Abb. 40.34 als Standardregelkreis behandelt haben, soll eine Kaskadenregelung entworfen werden. Der Ort y und die Geschwindigkeit v des Wagens seien direkt messbar. Dann kann die Kaskadenregelung nach der Abbildung der Kaskadenregelung implementiert werden. Darin setzt sich die Strecke aus einer inneren Übertragungsfunktion $0{,}1/(0{,}2\cdot s+1)$ und einer äußeren Übertragungsfunktion $1/s$ zusammen, wie schon in (40.68). $K_{\text{i}}$ ist der P-Regler für den inneren Kreis und $K_{\text{a}}$ der P-Regler für den äußeren Kreis.

Bestimmen Sie $K_{\text{i}}$ und $K_{\text{a}}$ so, dass die Regelung einen Doppelpol in −5 aufweist.

Kaskadenregelung für ein Positioniersystem

Hinweis:

Stellen Sie zunächst die Übertragungsfunktion $T_{\text{i}}(s)$ von $v_{\text{soll}}$ nach v in Abhängigkeit von $K_{\text{i}}$ auf.

Resultat: $K_{\text{i}}=10$, $K_{\text{a}}=5$.

40.6

••  Gegeben ist ein Regelkreis mit Vorsteuerung mit:

$$G=\frac{1}{(s+0.5)(s+1)}.$$

Geben Sie eine ideale Vorsteuerung $F_{\text{V}}(s)$ für den Regelkreis an. Ist diese realisierbar? Wie können Sie Abhilfe schaffen? Entwerfen Sie außerdem den Regler $R(s)$ als PI-Regler so, dass die langsamere Streckenzeitkonstante kompensiert wird und die Störübertragungsfunktion einen Doppelpol auf der reellen Achse hat.

Regelkreis mit Vorsteuerung

Hinweis:

Überlegen Sie, ob die Störübertragungsfunktion durch $F_{\text{V}}(s)$ beeinflusst wird.

Resultat: $F_{\text{V}}(s)=G^{-1}=(s+0{,}5)(s+1)$ ist nicht realisierbar, da differenzierend. Abhilfe: Man kann vor $F_{\text{V}}$ und vor dem Soll-Istwertvergleich z. B. ein schnelles PT2-Glied einfügen (Abb. 40.48). Die Störübertragungsfunktion ist auch bei der hier vorliegenden Zwei-Freiheitsgrade-Regelung $S(s)=\frac{1}{1+F_{0}}$, also von $F_{\text{V}}(s)$ unabhängig. Der PI-Regler lautet $R(s)=\frac{K_{\text{I}}}{s}(1+T_{\text{R}}s)$ mit $T_{\text{R}}=2$ und $K_{\text{I}}=1/8$.