Spannungen, Verzerrungen und Materialgesetz – wenn Werkstoffe versagen

Kapitelvorwort

Was ist ein Spannungstensor?

Wie dreht man ein Koordinatensystem?

Wie beschreibt man elastische Verformung?

In den bisherigen Kapiteln der Technischen Mechanik hatten wir uns mit der Ermittlung von Kräften und Momenten – vor allem mit Lagerreaktionen und Schnittgrößen – befasst. Aber als Grundlage, die Tragfähigkeit eines Bauteils zu ermitteln, eignen sich Schnittgrößen nicht so ohne Weiteres. So wird ein Träger mit einem großen Querschnitt sehr viel größere Schnittkräfte ertragen können als ein Träger mit einem zierlichen. Für die Festigkeitsrechnung ist es also auch erforderlich, den Einfluss der Bauteilgeometrie zu berücksichtigen.

Das Teilgebiet der Technischen Mechanik, das sich diesen Fragestellungen widmet, ist die Festigkeitslehre. Sie befasst sich damit, welche Spannungen die inneren Kräfte und Momente (die Schnittgrößen) in Bauteilen bewirken und wie sich diese Bauteile dabei verformen.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 4.1

Der Mohr’sche Spannungskreis hat seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Die Beträge von Hauptspannungen und Hauptschubspannung sind daher gleich groß.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

4.1

• Zugproben duktiler Werkstoffe reißen im Zugversuch regelmäßig mit einer größtenteils um 45° zur Kraftrichtung geneigten Bruchfläche.

Analysieren Sie die Spannungsverhältnisse in einer solchen Zugprobe des Querschnitts $20\,\text{mm}^{2}$, die unter einer Zugkraft von $F=8\,\text{kN}$ gebrochen ist, in den folgenden Schritten:

• 1. Schneiden Sie ein Stück der Zugprobe frei und tragen Sie die angreifenden Spannungen in einen $x,y$-Lageplan ein.

• 2. Wie lautet der Spannungstensor?

• 3. Zeichnen Sie den Mohr’schen Spannungskreis.

• 4. In welchem Winkel treten die Hauptschubspannungen $\tau_{\text{max}}$ auf und wie groß sind sie? Zeichnen Sie für das $1^{*},2^{*}$-Hauptschubspannungssystem einen entsprechend gedrehten Lageplan und tragen Sie in diesen alle auftretenden Spannungen ein.

• 5. Was ist aus werkstoffkundlicher Sicht der Grund für die um 45° geneigte Bruchfläche?

Resultat: Die Hauptschubspannungen betragen $\tau_{\text{max}}=200\,\text{MPa}$.

4.2

• Auf der freien Oberfläche eines Bauteils herrschen die Spannungen $\sigma_{x}=60\,\text{MPa}$, $\sigma_{y}=-45\,\text{MPa}$ und $\tau_{xy}=50\,\text{MPa}$.

• 1. Tragen Sie die Spannungen in einen Lageplan ein.

• 2. Zeichnen Sie den Mohr’schen Spannungskreis.

• 3. Wie groß sind die Hauptspannungen $\sigma_{1}$ und $\sigma_{2}$ sowie die Hauptschubspannung $\tau_{\text{max}}$?

• 4. Welcher Winkel liegt zwischen dem $x,y$-Koordinatensystem und den Hauptachsensystem?

Resultat: $\sigma_{1}=80\,\text{MPa}$, $\sigma_{2}=-65\,\text{MPa}$,$\tau_{\text{max}}=72{,}5\,\text{MPa}$, $\varphi=22^{\circ}$.

4.3

• Am dargestellten, 4 mm starken, quadratischen Blech der Seitenlängen 100 mm wird mit gleichmäßig über die jeweiligen Stirnseiten verteilten Kräften $F_{1}=32\,\text{kN}$ gezogen und $F_{2}=12\,\text{kN}$ gedrückt.

• 1. Welche Art von Spannungszustand liegt vor?

• 2. Wie lautet der Spannungstensor im $x,y$-Koordinatensystem?

• 3. Tragen Sie die vorliegenden Spannungskomponenten in einen Lageplan ein und zeichnen Sie den Mohr’schen Spannungskreis.

• 4. Um welchen Winkel ist das Koordinatensystem zu drehen, damit die größtmöglichen Schubspannungen auftreten?

• 5. Wie lautet der Spannungstensor im $1^{*},2^{*}$-Hauptschubspannungssystem?

• 6. Tragen Sie Komponenten des in das Hauptschubspannungssystem gedrehten Spannungstensors in einen entsprechend gedrehten Lageplan ein.

Resultat: $\sigma_{x}=-30\,\text{MPa}$, $\sigma_{y}=80\,\text{MPa}$, $\tau_{xy}=0\,\text{MPa}$.

Zwischen dem $x,y$-Koordinatensystem und dem Hauptschubspannungssystem liegt ein Winkel von 45°.

$\sigma_{1^{*}}=\sigma_{2^{*}}=25\,\text{MPa},\tau_{\text{max}}=55\,\text{MPa}$.

4.4

• Im Kampf gegen die Langeweile sitzen Sie in der letzten Reihe des Hörsaals und zerren an einem Blatt karierten Papiers. Dabei verformt sich das Blatt wie folgt:

• Unverformter Zustand: quadratisches Karomuster mit Linienabständen von jeweils 5 mm.

• Verformter Zustand: siehe folgende, nichtmaßstäbliche Skizze:

• 1. Wie lautet der Verzerrungstensor in der $x,y$-Ebene?

• 2. Zeichnen Sie die vorliegenden Verzerrungen in einen Lageplan ein.

• 3. Zeichnen Sie den Mohr’schen Verzerrungskreis.

• 4. Wie groß sind die Hauptdehnungen $\varepsilon_{1}$ und $\varepsilon_{2}$? Zeichnen Sie die im Hauptachsensystem herrschenden Dehnungen in einen entsprechend gedehnten Lageplan ein.

Resultat: $\varepsilon_{x}=-4\,\%$, $\varepsilon_{y}=6\,\%$, $\varepsilon_{xy}=3{,}5\,\%$, $\varepsilon_{1}=7{,}1\,\%$, $\varepsilon_{2}=-5{,}1\,\%$.

4.5

• Leiten Sie eine für die meisten gängigen Konstruktionswerkstoffe gültige, einfache Faustformel zur Berechnung des Schubmoduls G allein aus dem Elastizitätsmodul E her.

Hinweis:

In welchen Grenzen bewegt sich die Querkontraktionszahl ν?

Resultat: $G=\frac{E}{2{,}6}$

4.6

• Welcher der beiden Verzerrungstensoren ist „schlimmer“, $\boldsymbol{V}_{1}$ oder $\boldsymbol{V}_{2}$?

$$\begin{aligned}\boldsymbol{V}_{1}&=\begin{pmatrix}0{,}2&0{,}3\\ 0{,}3&1\\ \end{pmatrix}\%,\\ \boldsymbol{V}_{2}&=\begin{pmatrix}0{,}3&-0{,}4\\ -0{,}4&0{,}9\\ \end{pmatrix}\%\end{aligned}$$

Resultat: Keiner, beide beziehen sich auf denselben Verzerrungszustand.

4.7

• Drei gleich große Würfel der Kantenlänge $a=5\,\text{cm}$, von denen der erste aus Stahl ($E=205\,\text{GPa},\nu=0{,}3$), der zweite aus Aluminium ($E=70\,\text{GPa},\nu=0{,}3$) und der dritte aus PVC ($E=0{,}5\,\text{GPa},\nu=0{,}5$) besteht, fallen im Marianengraben auf die mit $11.034\,\text{m}$ tiefste Stelle des Meeresgrundes.

• 1. Wie groß ist dort der Wasserdruck p in $\text{N}/\text{mm}^{2}$?

• 2. Wie lautet der Spannungstensor?

• 3. Bestimmen Sie mithilfe des Hooke’schen Gesetzes den dazugehörigen Verzerrungstensor.

• 4. Welche Volumenänderung (in $\text{cm}^{3}$) erfahren die drei Würfel?

• 5. Welche Eigenschaft haben demnach Stoffe der Querkontraktionszahl $\nu=0{,}5$?

Hinweis:

Rechnen Sie in Aufgabenteil 1 mit einer Erdbeschleunigung von $9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$ und einer Dichte von $1{,}02\,\frac{\text{t}}{\text{m}^{3}}$

Resultat:

• 1. $\sigma_{x}=\sigma_{y}=\sigma_{z}=-110{,}4\,\text{MPa}$.

• 3. Stahl: $\varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}=\varepsilon_{z}=-0{,}215\,\%\lower 0.645pt\hbox{0}$.

  Alu: $\varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}=\varepsilon_{z}=-0{,}631\,\%\lower 0.645pt\hbox{0}$.

  PVC $\varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}=\varepsilon_{z}=0$.

• 4. $\Updelta V_{\text{Stahl}}=-0{,}081\,{\text{cm}^{3}},\ \Updelta V_{\text{Alu}}=-0{,}237\,{\text{cm}^{3}},\ \Updelta V_{\text{PVC}}=0\,{\text{cm}^{3}}$.

4.8

•• Eine quadratische dünne Stahlstange der Länge $l=1\,\text{m}$ (Materialdaten: $E=205\,\text{MPa},\nu=0{,}3,\ \alpha=10^{-5}\,\text{K}^{-1}$) wird zwischen zwei starren Betonwänden eingemauert. Nach der Montage erwärmt sich die Stahlstange um $\Updelta T=40\,\text{K}$.

• 1. Wie groß sind die Dehnung $\varepsilon_{x}$ sowie die Spannungen $\sigma_{y}$, $\sigma_{z}$ und alle Schubspannungen im Stab? Begründen Sie kurz Ihre Antwort.

• 2. Berechnen Sie mithilfe des Hooke’schen Gesetzes alle anderen Komponenten von Spannungs- und Verzerrungstensor.

Hinweis:

Sehen Sie sich für den Aufgabenteil 2 die insgesamt 12 Gleichungen des Hooke’schen Gesetzes (Spannungen aus Verzerrungen und Verzerrungen aus Spannungen) in Ruhe an und beginnen Sie mit derjenigen, die die wenigsten Unbekannten enthält.

Resultat:

• 1. $\varepsilon_{x}=0$. Die y- und z-Flächen sind freie Oberflächen. Alle Spannungskomponenten mit den Indizes y oder z verschwinden: $\sigma_{y}=\sigma_{z}=\tau_{xy}=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0$.

• 2. $\sigma_{x}=-82\,\text{MPa},\varepsilon_{y}=\varepsilon_{z}=0{,}52\,\%\lower 0.645pt\hbox{0}$

4.9

•• An einem Bauteil aus Aluminium ($E=70\,\text{GPa}$, $\nu=0{,}3$) werden mit einer DMS-Rosette die Dehnungen $\varepsilon_{\text{a}}=0{,}6\,\%\lower 0.645pt\hbox{0}$, $\varepsilon_{\text{b}}=0{,}45\,\%\lower 0.645pt\hbox{0}$ und $\varepsilon_{\text{c}}=0{,}1\,\%\lower 0.645pt\hbox{0}$ gemessen. Zwischen den DMS-Streifen (a), (b) und (c) liegen jeweils Winkel von $45^{\circ}$ gegen den Uhrzeigersinn.

Wie groß sind die Hauptspannungen und in welche Richtung sind sie orientiert?

Resultat: $\sigma_{1}=49{,}5\,\text{MPa}\ \text{und}\ \sigma_{2}=20{,}5\,\text{MPa}$.