Lineare Netze - wie der Strom sein Ziel findet

Kapitelvorwort

Wohin kommt wieviel Strom?

Wie kommt es zum Zündfunken?

Welche Leistung wirkt - welche nicht?

Lineare Netze sind solche, bei denen Strom und Spannung in einem linearen Zusammenhang stehen. Das sind Schaltungen oder Netzwerke, die nur aus Widerständen, Spulen, Kondensatoren sowie aus Strom- und Spannungsquellen bestehen.

Alle Ströme und Spannungen in einem Netzwerk lassen sich mithilfe der beiden Kirchhoff’schen Regeln berechnen. Die Knotenregel folgt aus der Erhaltung der Ladung. Die Maschenregel folgt aus dem Energieerhaltungssatz. Für lineare Netzwerke nehmen die Kirchhoff’schen Regeln die Gestalt linearer Gleichungen an, die mit den Techniken der linearen Algebra gelöst werden können.

Haben alle Ströme und Spannungen in einem Netzwerk sinusförmige Verläufe, so spricht man von Wechselströmen und Wechselspannungen. Die Wechselstromtechnik kennt drei Arten von Leistung. Die Wirkleistung P ist der über eine ganze Spannungsperiode gemittelte Durchschnittswert der augenblicklichen Leistung $p(t)$. Sie wird durch Ohm’sche Widerstände verursacht. Ihr gegenüber steht die Blindleistung Q welche von Spulen und Kondensatoren verursacht wird. Sie ist ein Maß dafür, wie viel Energie innerhalb eines Netzes hin und her oszilliert. Die quadratische Summe $S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}$ heißt Scheinleistung. Sie gibt bei gegebener Spannung an, wie groß die durchschnittlichen Beträge der Ströme sind.

Mithilfe von Transformatoren lassen sich Wechselstromnetze induktiv koppeln. Verbindet man in geeigneter Weise drei Wechselstromnetze zum sogenannten Drehstromnetz, so lassen sich damit besonders effektiv große elektrische Leistungen transportieren.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 35.1

Zunächst erhält man eine Masche. Wenn beide Zweige keine weiteren Knoten haben, so kann diese Masche auch als neuer Zweig, dessen Gesamtwiderstand sich als Parallelschaltung der Zweigwiderstände errechnet, betrachtet werden.

Antwort 35.2

Einsetzen ergibt:

$$\displaystyle{{1}\over{a\parallel b}}={{1}\over{a}}+{{1}\over{b}}.$$

Antwort 35.3

Das mag zunächst vermutet werden, ist aber nicht so. Wenn die Umlaufrichtung einer Masche invertiert wird, dann wechselt der Maschenstrom nur sein Vorzeichen. Dort, wo bei einer Wahl der Umlaufrichtung addiert wird, wird bei der Alternativwahl das Negierte abgezogen, also auch wieder addiert.

Antwort 35.4

Es führt zu keiner Lösung. Das liegt aber nicht am Verfahren, sondern an der generellen Unlösbarkeit des Problems: Ein Knoten, welcher nur mit idealen Stromquellen verbunden ist, hat den Knotenleitwert null. Seine Strombilanz lautet schlicht: die Summe aller Ströme ist null. Das aber funktioniert bei idealen Stromquellen im Allgemeinen nicht. Und im Übrigen ist das Potenzial dieses Knotens im Grenzfall idealer Stromquellen sowieso undefiniert.

Antwort 35.5

Es gilt $\phi_{\text{Z}}=\phi_{\text{U}}-\phi_{\text{I}}$. Dies folgt unmittelbar aus der Definition der komplexen Amplituden:

$$\displaystyle\underline{Z}={{\underline{U}}\over{\underline{I}}}={{\hat{U}\mathrm{e}^{{\text{j}}\phi_{\mathrm{U}}}}\over{\hat{I}\mathrm{e}^{{\text{j}\phi_{\mathrm{I}}}}}}={{\hat{U}}\over{\hat{I}}}\mathrm{e}^{{\text{j}}(\phi_{\text{U}}-\phi_{\text{I}})}$$

Das Verhältnis $\hat{U}/\hat{I}$ ist der Absolutbetrag der Impedanz, $\phi_{\mathrm{U}}-\phi_{\mathrm{I}}$ der dazugehörige Winkel.

Antwort 35.6

Grundsätzlich ist die Leistungsdefinition die allgemein gültige. Je nachdem, ob der verlustbringende Widerstand als Reihen- oder Parallelwiderstand zum idealen Bauteil modelliert wird, ergeben sich für dessen Leitwert oder Widerstand unterschiedliche Zahlenwerte. Wenn der Verlustbringer als in Reihenschaltung befindlich angenommen wird, wird meist ein Widerstand angegeben. Im Umkehrschluss deutet die Angabe eines Verlustwiderstandes auf die Annahme einer Reihenschaltung hin. Die Angabe eines Verlustwiderstandes ist daher im Falle einer Reihenschaltung mit der Leistungsdefinition konsistent. Wird der Verlustbringer dagegen als Parallelwiderstand modelliert, ergibt sich bei identischen Verlusten ein anderer Widerstandswert. Meist wird in diesen Fällen der Leitwert des Verlustbringers angegeben. Dieser ist dann mit der Leistungsdefinition verträglich, wenn dahinter die Annahme einer Parallelschaltung steht.

Antwort 35.7

Er verhält sich wie die Primärspule allein. Dies zeigt das Ersatzschaltbild in Abb. 35.8. Für $I_{\text{S}}=0$ ergibt sich auf der Primärseite eine Spannung

$$\displaystyle\underline{U}_{\mathrm{P}}=\mathrm{j}\omega(L_{\mathrm{P}}-M)\underline{I}_{\mathrm{P}}+\mathrm{j}\omega M\underline{I}_{\mathrm{P}}=\mathrm{j}\omega L_{\mathrm{P}}\underline{I}.$$

Man kann dieses Ergebnis auch direkt aus den Transformatorgleichungen gewinnen. Es gilt daher für beliebige zeitliche Abläufe.

Antwort 35.8

Jede der Versorgungsleitungen hat eine Spannungsamplitude $\hat{U}=\sqrt{2}\cdot U_{\mathrm{eff}}=\sqrt{2}\cdot 230\,\mathrm{V}=325\,\mathrm{V}$. Die Amplitude der Differenz zwischen zwei Leitungen ist um einen Faktor $\sqrt{3}$ größer: $U_{\mathrm{max}}=\sqrt{6}\cdot U_{\mathrm{eff}}=563\,\mathrm{V}$.

Antwort 35.9

Die drei Sicherungen sichern jeweils eine Phase. Der Elektroherd kann daher die Vorteile des Drehstroms nutzen: weniger Stromfluss bei gleicher Leistung und bei Realisierung als Dreieckschaltung keinerlei Belastung des Nullleiters.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

35.1

•  Welche Teile eines Autos sind immer aus Keramik und warum?

Hinweis:

Da hilft nur ein Geistesblitz!

Resultat: Zündkerzen.

35.2

•  Es ist in Deutschland verboten, eine Verlängerungsschnur für elektrischen Strom von einem Zimmer in ein anderes zu legen. Warum?

Hinweis:

Es dient der Sicherheit.

Resultat: Wenn zwei Räume an verschiedene Phasen der drei Phasen Wechselspannung geschlossen sind, dann können zwischen diesen Spannungen bis über 560 V auftreten.

35.3

••  Welche Gesetze liegen den Kirchhoff’schen Regeln zugrunde?

Resultat: Ladungs- und Energieerhaltung.

35.4

••  Wann ist elektrische Leistung negativ?

Hinweis:

Das hängt nicht von der Wahl der Koordinatensysteme ab.

Resultat: Negative Leistung heißt: Einem Stromkreis wird Energie zugeführt.

35.5

•••  Der Betreiber eines Windparks wird am Telefon gebeten, mehr kapazitive Blindleistung zur Verfügung zu stellen. Was ist damit gemeint? Und was soll dadurch erreicht werden?

Hinweis:

Es ist alles eine Frage des Phasenwinkels.

Resultat: Er soll Wechselströme ins Netz einspeisen, deren Nulldurchgänge den Nulldurchgängen der Wechselspannung vorauseilen. Er erhöht damit den Wirkungsgrad der Leistungsübertragung.

35.6

•  Bestimmen Sie für die im Bild gezeigte Schaltung den Strom durch den Widerstand $R_{\mathrm{AB}}$ mithilfe der Maschenstromanalyse.

Schaltung aus Quellen und Widerständen

Hinweis:

Fassen Sie die drei rechten Widerstände zusammen.

Resultat:

$$\displaystyle I(R_{\mathrm{AB}})={{U_{\mathrm{A}}-I_{\mathrm{B}}\cdot(R_{1}+R_{2}+R_{3})}\over{R_{\mathrm{AB}}+R_{1}+R_{2}+R_{3}}}.$$

35.7

•••  Wenn der Kern eines Transformators durch einen Fertigungsfehler auf der Sekundärseite $5\,\%$ weniger Querschnitssfläche hat als auf der Primärseite, wie ändert sich dann das Spannungsverhältnis?

Hinweis:

Man erhält zwei Spulen mit unterschiedlichem Λ.

Resultat: Das Verhalten ändert sich nicht.

35.8

••  Zeigen Sie, dass bei der in der Abbildung gezeigten symmetrischen Sternschaltung kein Strom durch den Nullleiter fließt, egal welchen Wert die Impedanz $\underline{Z}_{\mathrm{S}}$ hat.

Die symmetrische Sternschaltung

Hinweis:

Es reicht, die Summe der drei Ströme zu berechnen.

Resultat: $\underline{I}=0$

35.9

•••  Für eine Spule wird bei einer Frequenz von f = 1 GHz Induktivität von L = 10 nH und eine Güte von Q = 5 messtechnisch bestimmt. Wie groß ist der Ohm’sche Widerstand des Spulendrahtes?

Hinweis:

Unter der Güte wird allgemein das Verhältnis Blindleistung/Wirkleistung verstanden. Den Messergebnissen liegt also die unausgesprochene Annahme zugrunde, dass Induktivität und Widerstand parallel geschaltet sind.

Resultat: Der Drahtwiderstand beträgt $R_{\mathrm{S}}=0{,}48\,\Upomega$.

35.10

•  Ein mutiger Bastler will einen Drehstromherd für eine Wohnung ohne Drehstrom umbauen, indem er alle drei Versorgungsanschlüsse zusammenlötet und alle zusammen an das 230-V-Netz schließt. Was passiert?

Hinweis:

Er verstößt mit seinem Handeln gegen VDE-Vorschriften.

Resultat: Einige Herdplatten funktionieren gar nicht mehr, andere vielleicht.

35.11

••  Ein Transformator ist für Leistungen bis $P_{\mathrm{max}}=2$ kW ausgelegt. Ein Ingenieur schlägt vor, zur Leistungssteigerung die Anzahl der Windungen auf der Sekundärseite zu erhöhen. Ein anderer schlägt vor, den Transformator in seine Einzelteile zu zerlegen und den Draht für die Wicklungen um einen größeren Eisenkern zu wickeln. Welchem Vorschlag ist zu folgen?

Hinweis:

Nur eine der beiden Optionen hilft weiter.

Resultat: Der Eisenkern muss vergrößert werden.

35.12

•••  Ein Transformator habe ein kleines, aber symmetrisch verteiltes Streufeld d. h., ein kleiner Anteil α des Magnetfeldes $\vec{B}_{\mathrm{P}}$ der Primärspule durchdringt nicht den Querschnitt der Sekundärspule. Der gleiche Anteil des Feldes der Sekundärspule $\alpha\cdot\vec{B}_{\mathrm{S}}$ durchdringt nicht den Querschnitt der Primärspule. Finden sie ein Ersatzschaltbild für diesen Transformator, der sonste keine Verluste hat.

Hinweis:

Einige Flüsse der Magnetfelder bekommen einen Faktor $(1-\alpha)$.

Resultat: Die Abbildung zeigt die Lösung:

Ersatzschaltbild für den verlustlosen Transformator mit symmetrischem Streufeld