Norm und Skalarprodukt

Zusammenfassung

Egal ob Ingenieur, Physiker oder Mathematiker: Längen- und Winkelmessungen sind von elementarer Bedeutung. Denken Sie nur an GPS-Navigation im Auto, das Navigieren von Schiffen und Flugzeugen, die Reichweite eines Radiosenders oder gar Lichtbrechung, bei der Einfallswinkel eine besondere Rolle spielen: Überall treten diese Begriffe auf. Klar, im Alltag können wir dafür teils Maβband und Geodreieck verwenden. Aber diese beiden Utensilien lassen sich nicht in einen beliebigen Vektorraum mitnehmen. Welche Länge ein Pfeil (Vektorbegriff aus der Schule) hat, kann leicht gemessen werden. Gleiches gilt für den Winkel zwischen zwei einfachen Vektoren, die auf das Papier gezeichnet wurden. Aber z.B. auch Polynome, die einen Vektorraum bilden, dürfen linear unabhängig sein. Anschaulich heiβt das für uns, dass der „ Winkel“ zwischen ihnen nicht Null ist. Aber wie messen wir diesen und welche Länge hat eigentlich ein Polynom? Mit Lineal und Winkelmesser in der Hand werden wir das nicht ermitteln können. Dazu brauchen wir also wieder etwas Theorie, die wir hier behandeln werden. Dabei wird uns beruhigen, dass die definierten und abgeleiteten Begriffe nach dem modelliert sind, was wir uns ohnehin als sinnvoll denken bzw. aus dem Alltag kennen.