Funktionen mehrerer Variablen — Differenzieren im Raum

Zusammenfassung

Nachdem wir uns im Kapitel 19 ausführlich mit dem Begriff der Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen und topologischen Räumen beschäftigt haben, entwickeln wir in diesem zentralen Kapitel die fundamentalen Tatsachen der Differenzialrechnung für Abbildungen f: D → ℝ^m, deren Definitionsbereich i. Allg. eine offene (nichtleere) Menge D ⊆ ℝⁿ ist. Dabei geht es zunächst darum, den „richtigen“ Begriff für die Differenzierbarkeit einer Funktion von mehreren Variablen zu finden. Die naheliegende Idee, bei einer Funktion von n Variablen n — 1 Variablen festzuhalten und die dadurch entstehende Funktion einer Veränderlichen mit den geläufigen Methoden der Differenzialrechnung einer Variablen zu behandeln, führt zum Begriff der partiellen Ableitung und zur partiellen Differenzierbarkeit, aus dem aber nicht notwendigerweise die Stetigkeit an der betreffenden Stelle folgt. Wir suchen nach einem stärkeren Differenzierbarkeitsbegriff, für den aus der Differenzierbarkeit auch die Stetigkeit folgt. Als zentraler Begriff wird sich dabei die totale Differenzierbarkeit erweisen.