Das Prinzip der vollständigen Induktion

Zusammenfassung

Die vollständige Induktion ist eine der drei grundlegenden mathematischen Beweistechniken — neben ’direk’ und ’indirekt durch Widerspruch’. Urn eine Beweistechnik als Mittel der logischen Argumentation zu akzeptieren, muss man diese Technik hinterfragt und verstanden haben. Das Prinzip der vollständigen Induktion ist immerhin so komplex, dass es Gegenstand von Witzen sein kann:

„Seht Euch doch diesen Mathematiker an“, sagt der Logiker. „Er bemerkt, dass die ersten neunundneunzig Zahlen kleiner als hundert sind und schließt daraus auf Grund von etwas, das er Induktion nennt, dass alle Zahlen kleiner als hundert sind.“

„Ein Physiker glaubt“, sagt der Mathematiker, „dass 60 durch alle Zahlen teilbar ist. Er bemerkt, dass 60 durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist. Er untersucht noch ein paar Fälle wie 10, 20 und 30, die, wie er sagt, aufs Geratewohl herausgegriffen sind. Da 60 auch durch diese teilbar ist, betrachtet er seine Vermutung als hinreichend durch den experimentellen Befund bestätigt.“

„Ja, aber seht Euch doch den Ingenieur an“, sagt der Physiker. „Ein Ingenieur hatte den Verdacht, dass alle ungeraden Zahlen Primzahlen sind. Jedenfalls, so argumentiert er, kann 1 als Primzahl betrachtet werden. Dann kommen 3, 5 und 7, alle zweifellos Primzahlen. Dann kommt 9; ein peinlicher Fall, wir scheinen hier keine Primzahl zu haben. Aber 11 und 13 sind unbestreitbar Primzahlen. ’Auf die 9 zurückkommend’, sagt er, ’schließe ich, dass 9 ein Fehler im Experiment sein muss.’“ (Mathematik-Folklore)