Kreisteilungskörper einer Galoiserweiterung

Auszug

Aus der Analysis ist bekannt, dass die n-ten (komplexen) Einheitswurzeln, das sind die Lösungen der Gleichung Xⁿ — 1 = 0 in ℂ, die Ecken eines regulären n-Ecks in ℂ bilden; es sind dies die n verschiedenen komplexen Zahlen 1, $e^{\tfrac{{2\pi i}} {n}} ,e^{\tfrac{{4\pi i}} {n}} , \ldots ,e^{\tfrac{{2(n - 1)\pi i}} {{n - 1}}}$. Diesem Umstand haben die Kreisteilungskörper ihren Namen zu verdanken: Ein Körper K_n heißt Kreisteilungskörper, wenn er Zerfällungskörper des Polynoms Xⁿ — 1 ∈ K[X] ist — ein Kreisteilungskörper ist also ein kleinster Erweiterungskörper, über dem das Polynom Xⁿ — 1 zerfällt. Das wesentliche Ergebnis ist einfach zu formulieren: Wenn die Charakteristik von K kein Teiler von n ist, so ist die Körpererweiterung K _n /K galoissch, und die Galoisgruppe ist zu einer Untergruppe von ℤ ^× _n isomorph.