Erweiterung auf lineare mehrdimensionale Randwertprobleme

Zusammenfassung

Anstelle einer gewöhnlichen Differentialgleichung auf dem Intervall (0, 1) betrachten wir nun eine partielle Differentialgleichung auf einer offenen Menge Ω ⊂ ℝ^d mit der Raumdimension d ∈ {1, 2, 3}.Anstelle der Randbedingungen in den Randpunkten 0 und 1 des Intervalls (0, 1) werden nun Randbedingungen auf zwei disjunkten Teilmengen Γ^D und Γ^N, die den ganzen Rand Γ= ∂Ω=Γ ∪ Γ^N umfassen, formuliert: Gesucht ist eine Funktion u auf $\bar \Omega = \Omega \cup \Gamma$ welche die Differentialgleichung

$$ - \sum\limits_{i,j = 1}^d {\frac{\partial } {{\partial x_i }}\left( {a_{ij} (x)\frac{{\partial u}} {{\partial x_j }}(x)} \right) + } \sum\limits_{i = 1}^d {b_i (x)\frac{{\partial u}} {{\partial x_i }}(x) + c(x)u(x) = f(x) f{\text{\"u }}r alle x \in \Omega } $$

und die Randbedingungen

$$ \begin{gathered} u(x) = g_D (x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Gamma _D , \hfill \\ \sum\limits_{i,j = 1}^d {a_{ij} (x)n_i (x)\frac{{\partial u}} {{\partial x_j }}(x)} = g_N (x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Gamma _N \hfill \\ \end{gathered} $$

für vorgegebene Daten a _ij , b _i , c, f, g _D und g _N erfüllt.