Anfangswertproblem für lineare partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Zusammenfassung

Im folgenden werden wir uns zuerst mit dem Anfangswertproblem einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten befassen. Hier liegt das folgende Problem vor: Gegeben sei die Gleichung

$${{\rho }_{0}}\ddot{f} = {{w}_{{jk}}}{{f}_{{jk}}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{k}}}}\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial {{f}_{k}}}}} \right)$$

(6.1)

, wobei f = f (x₁,...,x_n, t) die unbekannte Funktion und

$${{f}_{j}}=\frac{\partial f}{\partial {{x}_{j}}},\dot{f}=\frac{\partial f}{\partial t},{{f}_{jk}}=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}_{j}}\partial {{x}_{k}}},$$

$$w=w({{f}_{1}},\ldots ,{{f}_{n}};{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}),{{\rho }_{0}}={{\rho }_{0}}({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})={{\rho }_{0}}(x)$$

ist. Gegeben seien ferner eine Fläche

$$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{w}:\phi(x)=t$$

im (x,t)-Raum und die Werte

$$f=f(x,\phi (x)),{{f}_{j}}={{f}_{j}}(x,\phi (x))$$

der Funktion f sowie ihrer partiellen Ableitungen f auf der Fläche $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{w}$. Eine naheliegende Frage lautet: Kann man aus den angegebenen Daten die zweiten Ableitungen von f auf der Fläche berechnen?