Das verallgemeinerte Hookesche Gesetz

Zusammenfassung

Nach der Beschreibung des Zusammenhanges zwischen Spannung und Formänderung bei ganz speziellen Spannungszuständen erhebt sich nun die Frage, wie in einem isotropen Körper Spannungen und Formänderungen bei einem ganz beliebigen räumlichen Spannungszustand miteinander zusammenhängen. Es herrsche also an irgend einer Stelle des betrachteten Körpers ein räumlicher Spannungszustand, gegeben durch die drei Hauptspannungen σ_l,σ₂,σ₃ (s. Nr. 6). Dann können wir uns diesen Spannungszustand entstanden denken durch Überlagerung von drei einachsigen Spannungszuständen mit den Hauptspannungenσ_l bzw. σ₂ bzw. σ₃, die in drei zueinander senkrechten Richtungen wirken. Es ist nun naheliegend anzunehmen, daß sich dann auch die Formänderungen überlagern; daß wir also für einen kleinen Quader, dessen Seiten parallel den Hauptspannungsrichtungen sind, z. B. in der Richtung 1 eine Gesamtdehnung ε_l erhalten, die sich zusammensetzt aus der Längsdehnung$\varepsilon _1 ^\prime = \sigma _1 /E$infolge der Spannung σ_l und den in diese Richtung fallenden Querzusammenziehungen$\varepsilon _2 ^{\prime \prime } = - \mu \sigma _2 /E$und$\varepsilon _1 ^{\prime \prime \prime } = - \mu \sigma _3 /E$infolge der Spannungen σ₂ und σ₃: $\varepsilon _1 = \varepsilon _1 ^\prime + \varepsilon _1 ^{\prime \prime } + \varepsilon _1 ^{\prime \prime \prime }$So erhalten wir für dieGesamtdehnungen ɛ₁,ɛ₂ɛ₃ in den Richtungen der drei Hauptspannungen die Gleichungen

$$ \begin{array}{*{20}c} {\varepsilon _1 = \frac{1} {E}[\sigma _1 - \mu (\sigma _2 + \sigma _3 )],} \\ {\varepsilon _2 = \frac{1} {E}[\sigma _2 - \mu (\sigma _3 + \sigma _1 )],} \\ {\varepsilon _3 = \frac{1} {E}[\sigma _3 - \mu (\sigma _1 + \sigma _2 )],} \\ \end{array} {\text{ }} $$

(8,40)

Sie werden als verallgemeinertes Hookesches Gesetz bezeichnet und wurden zuerst von Gauchy¹ aufgestellt.