Praktische Berechnung von Trägheitsmomenten

Zusammenfassung

Die in den Gl. (21, 2) auftretenden Integrale sind zunächst Doppelintegrale, da wir uns die Flächenelemente dF als unendlich kleine Rechtecke mit den Seiten dx und dy vorzustellen haben, somit über zwei Veränderliche, x und y, zu integrieren haben (ganz ähnlich wie in Statik, Nr. 27). Wir können jedoch die Berechnung dieser Integrale auf die Auswertung einfacher Integrale zurückführen. Soll etwa das Trägheitsmoment J _x der in Abb. 47 dargestellten Fläche F ermittelt werden, so zerlegen wir F parallel zur x-Achse in lauter unendlich schmale Streifen von der Breite dy. Das Trägheitsmoment eines solchen Streifens um die x-Achse, das wir, da es unendlich klein ist, mit dJ _x bezeichnen wollen, ist nach Gl. (2I, 2a) gegeben durch

$$d{J_x} = \int\limits_{str} {{y^2}} dF$$

wobei die Integration über alle Flächenelemente des Streifens zu erstrecken ist. Da nun alle dF eines bestimmten Streifens von der x-Achse den gleichen Abstand haben, ist y² während der Integration über den Streifen konstant und kann aus dem Integral herausgehoben werden. Das verbleibende Integral ist als Summe der Flächenelemente des Streifens gleich der Fläche des Streifens, die wir mit $\overline {dF}$bezeichnen. Ist b die Breite der Fläche F im Abstand y von der x-Achse, so gilt $\overline {dF} = b dy$. Wir können also schreiben

$$d{J_x} = \int\limits_{str} {{y^2}} dF = {y^2}\int\limits_{str} {dF} = {y^2}\overline {dF} = {y^2}bdy$$

b wird im allgemeinen eine Funktion von y sein.