Die kombinatorischen Verfahren von Balas

Zusammenfassung

Zur Behandlung von Booleschen linearen Programmen der Form (P) Minimiere c′x unter den Restriktionen Ax≤b, x_j ∈ {0,1} (1≤ j ≤ n) schlägt Balas ([64a], [65b]) kombinatorische Verfahren vor. Durch diese wird systematisch ein Teil der 2ⁿ verschiedenen n-Tupeln (x₁,..., x_n) erzeugt und dann so abgeprüft, daß implizit alle Elemente der Lösungsmenge geprüft werden (Partielle oder implizite Enumeration). Ausgehend von x^(o)=0 erzeugen wir eine Folge von Vektoren x^(s)∈Bⁿ, die wir auf Zulässigkeit und Optimalität prüfen. Ein Vektor x^(s) ist eindeutig durch die Indexmenge J_s festgelegt, die durch die Beziehung

$${{x}_{j}}^{{(s)}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {j \in {{J}_{s}}} \\ 0 & {j \notin {{J}_{s}}} \\ \end{array} } \right.$$

definiert wird. Die Vektoren können wir als Knoten eines Graphen deuten. So entspricht dem Vektor x^(s)der Knoten s. Einer Kante (r, s) des Graphen entspricht das Paar (x^(r), x^(s)), wobei J_r⊂ J_s gilt und J_s\J_r genau ein Element besitzt. In diesem Falle verwenden wir die Sprechweise: x^(r) ist Vorgänger von x^(s), x^(s) ist Nachfolger von x^(r).