Der Riemannsche Raum

Zusammenfassung

In einem dreidimensionalen Raume (R₃) orientieren wir uns mittels eines Kartesischen Koordinatensystemes xⁱ (i = 1, 2, 3). Zur Ausführung von Messungen bedienen wir uns eines starren Einheits-Maßstabes. Mit seiner Hilfe ermittein wir die (skalare) Entfernung ds zweier infinitesimal benachbarter Punkte. Wir suchen sie mit den am Koordinaten-Gerüst „eingravierten“ Differenzen dxⁱ ihrer Lagekoordinaten in Beziehung zu setzen, deren „Eichung“ mit ebendemselben Einheits-Maßstab vorgenommen wurde. Finden wir hierbei stets

$$d{s^2} = \sum\limits_i {d{x^i}d{x^i}} $$

((VII 1, 1))

unabhängig von der Lage des Maßstabes relativ zum Ursprung des Bezugs-systemes wie auch von seiner Orientierung relativ zu den Achsen, so ist hierdurch die Geometrie des untersuchten R₃ als Euklid ische definiert.