Zusammenfassung
Mit unendlichen Reihen haben wir uns schon gelegentlich unserer Untersuchungen über Zahlenfolgen in §3 und § 4 beschäftigt, wo wir im Zusammenhang mit der Behandlung der geometrischen Reihe (§ 4, 3) feststellen konnten, daß sich die Frage der Konvergenz einer unendlichen Reihe auf die Konvergenz von Zahlenfolgen in höchst einfacher Weise zurückführen läßt. Wir wollen uns im folgenden von einem allgemeineren Standpunkt aus mit den unendlichen Reihen befassen und ihre wichtigsten Eigenschaften kennenlernen. Ich möchte schon hier hervorheben, daß diese Untersuchungen nicht nur in theoretischer Hinsicht, sondern vor allem auch für das praktische Rechnen von der größten Bedeutung sind. Ich erinnere Sie daran, daß die Berechnung der transzendenten Zahlen π und e, die Berechnung der Logarithmentafeln und der Tabellen für die Winkelfunktionen im wesentlichen mit Hilfe von Reihenentwicklungen erfolgt; dasselbe gilt auch für die Tabellen anderer praktisch wichtiger Funktionen, die Sie später kennenlernen werden. Eine sehr große Rolle spielen Reihenentwicklungen ferner bei der numerischen Berechnung mancher Integrale sowie bei der Lösung von Differentialgleichungen.
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Literatur
Diese Eigenschaft ist natürlich nur dann wesentlich, wenn die Reihe sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Glieder enthält (Ziffer 6, Satz i).
Vgl. die Fußnote S. 342.
Vgl. die völlig gleichartige Festsetzung in § 2, 4, Satz 3.
Man „darf“ natürlich auch eine nicht gleichmäßig konvergente Reihe gliedweise integrieren, aber man darf dann nicht schließen, daß man durch diese gliedweise Integration wieder eine konvergente Reihe erhält, die gegen das Integral der Summenfunktion konvergiert.
Jean Baptiste Fourier, geb. 1768 in Auxerres, gest. 1830 in Paris, Mathematiker, Physiker und Politiker, wirkte vor allem in Paris. Sein Hauptwerk ist „Théorie analytique de la chaleur“ (1827), worin er zur Darstellung der Wärmeströmung die nach ihm benannten trigonometrischen Reihen benützte.
Tabellen von Si x z.B. bei Jahnke-Emde, Funktionentafeln (3. Aufl., Leipzig 1938).
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Duschek, A. (1965). Unendliche Reihen. In: Vorlesungen über höhere Mathematik. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-7691-7_8
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-7691-7_8
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