Ergänzungen zur Differential- und Integralrechnung

Zusammenfassung

Wir haben bisher — von einigen Beispielen abgesehen, bei denen es sich um so simple Kurven, wie Gerade, Kreis, Ellipse, Hyperbel oder Parabel handelte — Kurven im wesentlichen nur als Bildkurven von eindeutigen Funktionen betrachtet. Ich habe es dabei vermieden, den Begriff „ Kurve’“, von dem Sie alle eine gewisse anschauliche Vorstellung haben werden, genauer zu definieren, aber doch gelegentlich darauf hingewiesen, daß die Menge aller Punkte (x, y) einer Ebene, die einer Gleichung

$$ y = f(x),a \leqslant x \leqslant b$$

((1))

genügen, keineswegs dieser anschaulichen Vorstellung entsprechen muß, daß wir ihr aber näher kommen, wenn wir von der Funktion f(x) verlangen, daß sie stetig ist. In der Gestalt (i) lassen sich aber Kurven nicht darstellen, die Strecken enthalten, die zur y-Achse parallel sind. Eine andere Schwierigkeit ist, daß z. B. ein ganzer Kreis nicht durch eine Gleichung der Gestalt (i) darstellbar ist, sondern, da f(x) eindeutig ist, entweder nur der obere oder nur der untere Halbkreis (§6,4, Beispiel 13).