Zusammenfassung
Das Wort Zahl kommt von zählen und wir zählen: eins, zwei drei, usw., einerlei, ob wir Menschen, Äpfel oder Knöpfe zählen. Mit dem Zählen hat die Menschheit in ihrer geistigen Entwicklung begonnen Mathematik zu treiben, und uns allen ist es, wie wir Kinder waren, nicht anders gegangen. Es ist der Begriff der natürlichen Zahlen, mit dem wir eine gewisse, noch recht oberflächliche Bekanntschaft gemacht haben, noch ehe wir in die Schule gegangen sind. Sie sind uns wohl vertraut und ihre Eigenschaften erscheinen uns als rechte Selbstverständlichkeiten. Etwas später haben wir mit den natürlichen Zahlen rechnen und so die Grundlagen der Arithmetik kennen gelernt. Die einfachen Regeln der Addition und Multiplikation sind uns so geläufig, daß wir sie verwenden, ohne an sie zu denken, etwa wie wir beim Sprechen die Regeln der Grammatik befolgen, ohne es nötig zu haben, sie uns ins Gedächtnis zu rufen.
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Literatur
Leopold Kronecker, geb. 1823 in Liegnitz (Schlesien), gest. 1891. Wirkte in Berlin; wichtigste Arbeitsgebiete: Arithmetik und Algebra.
Die Verwendung der Wörter „im allgemeinen“bedeutet einen sehr starken Appell an das richtige Sprachgefühl, so daß größte Vorsicht am Platz ist. Es ist zum Beispiel richtig, zu sagen, daß die natürlichen Zahlen im allgemeinen größer als 3 sind, weil es nur drei natürliche Zahlen gibt, nämlich 1, 2 und 3, die nicht größer als 3 sind. Aber es wäre völlig falsch, zu sagen, daß die natürlichen Zahlen im allgemeinen nicht durch 3 teilbar sind.
Der Hinweis § 4,3 bedeutet § 4, Ziffer 3.
Friedrich Lindemann, geb. 1852 in Hannover, gest. 1939, wirkte in Königsberg und München.
Mit der Transzendenz von;r wurde auch nachgewiesen, daß das uralte Problem der,, Quadratur des Kreises“, d. h. die mit Zirkel und Lineal durchzuführende Konstruktion eines einem gegebenen Kreise flächengleichen Quadrates unlösbar ist. Mit Zirkel und Lineal sind nur solche Aufgaben konstruktiv lösbar, die sich irgendwie auf algebraische Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten zurückführen lassen.
Charles Hermite, geb. 1822 in Dieuze (Frankreich), gest. 1901 in Paris, wirkte in Paris. Arbeitsgebiete: Algebra, Zahlentheorie und Funktionentheorie.
Ganz anders steht es dagegen mit den Begriffen,,beliebig klein“,,,hinreichend klein“usw., die wir im folgenden sehr oft verwenden werden.
In der mathematischen Literatur wird meist i statt j geschrieben; da aber in der Elektrotechnik i stets eine Stromstärke und daher irgendwie „tabu“ist, wollen wir den Elektrotechnikern die kleine Konzession machen und die imaginäre Einheit mit j bezeichnen.
Das ist der Inhalt des sogenannten Fundamentalsatzes der Algebra, vgl. § 29, 2.
Blaise Pascal, geb. 1623 in Clermont, gest 1662 in Paris, Philosoph und Mathematiker. Das Pascalsche Dreieck war schon einige Jahrhunderte vor Pascal arabischen und chinesischen Mathematikern bekannt.
Die Größenbeziehungen bleiben bei der Abbildung, so wie wir sie durchgeführt haben, in dem Sinn erhalten, daß unter unseren Voraussetzungen über die Orientierung der Zahlengeraden der Punkt A links von B liegt, wenn für die entsprechenden (rationalen oder allgemeiner reellen) Zahlen a und b die Beziehung a < b gilt. Ist a < b < c oder a > b > c, so sagt man, daß die Zahl b „zwischen“a und c liegt, eine Redeweise, die von den Bildpunkten A, B, C auf g übernommen und auf die Zahlen selbst übertragen wird.
Georg Cantor, geb. 1845 in Petersburg, gest 1918 in Halle, war wohl einer der schärfsten Denker unter den Mathematikern des letzten Jahrhunderts. Er war der alleinige Schöpfer der Mengenlehre, einer völlig neuen mathematischen Disziplin.
Richard Dedekind, geb. 1831 in Brauschweig, gest. 1916. Wirkte in Zürich und Braunschweig. Arbeitsgebiete: Zahlentheorie und Funktionstheorie.
Vgl. die Fußnote S. 2.
Bernhard Bolzano, geb. 1781 in Prag, gest. 1848; war Theologe, Philosoph und Mathematiker, lebte in Prag. — Karl Weierstrass, geb. 1815 in Ostenfelde (Deutschland), gest. 1897, war einer der bedeutendsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Er wirkte in Berlin. Arbeitsgebiet: Funktionentheorie.
Abgekürzt aus dem lateinischen limes (Grenze), superior (obere) und inferior (untere).
Ich werde später (§ 29, 2) zeigen, daß eine algebraische Gleichung stets nur endlich viele Wurzeln hat.
Folgen und Mengen sind also verschiedene Begriffe, die man allerdings in völlige Übereinstimmung bringen kann, wenn man sich auf den Standpunkt stellt, daß die Glieder einer Folge durch das Numerieren (also durch die Indizes, die man sich auch bei den Einsern des Beispiels 3 angebracht denken kann) auch dann als verschieden angesehen werden können, wenn sie zahlenmäßig gleich sind.
Nur rationale Zahlen sind numerisch exakt berechenbar, d. h. durch endliche oder periodische Dezimalbrüche darstellbar. Vgl. die Bemerkung am Schluß der Ziffer 5 von § 2.
Mitunter bezeichnet man (auch in der ersten Auflage dieses Bandes): steigende Folgen al1s im engeren Sinn monoton wachsende (zunehmende) Folgen, nicht fallende Folgen als monoton wachsende (zunehmende) Folgen, fallende Folgen als im engeren Sinn monoton abnehmende Folgen und nicht steigende Folgen als monoton abnehmende Folgen. Diese Bezeichnungsweise hat den Nachteil, daß eine Folge mit lauter gleichen Gliedern sowohl wachsend als abnehmend ist.
Augustin Louis Cauchy, geb. 1789 in Paris, gest. 1857; war einer der bedeutendsten französischen Mathematiker und der eigentliche Begründer der Funktionentheorie (Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen). Er wirkte in Paris.
Man kann die Intervallschachtelung an Stelle des Schnitts zur Definition der irrationalen Zahlen benützen. Dazu hat man lediglich den Begriff der (monotonen) Folge rationaler Zahlen und den Begriff der Nullfolge einzuführen. Definiert man dann die Intervallschachtelung wie oben für rationale av und bv, so kann man zeigen, daß es höchstens eine rationale Zahl gibt, die allen Intervallen der Schachtelung angehört. Gibt es keine solche Zahl, dann sagt man, die Schachtelung definiere eine irrationale Zahl.
Emile Borel, geb. 1871 in Saint-Affrique (Dep. Aveyron), gest. 1956, wirkte in Paris. Arbeitsgebiete: Mengenlehre, reelle und komplexe Funktionen, Wahrscheinlichkeitstheorie.
Nach Jakob Bernoulli, geb. 1654 in Basel, gest. ebenda 1705, wirkte in Basel. Untersuchungen über Wahrscheinlichkeitsrechnung, zahlreiche Anwendungen der damals neuen Infinitesimalrechnung auf spezielle Fragen. Sein Bruder Johann Bernoulli, geb. 1667 in Basel, gest. 1748 ebenda, wirkte zuerst in Groningen, dann als Nachfolger seines Bruders in Basel. Begründer der Variationsrechnung, bedeutende Arbeiten auf dem Gebiete der Physik.
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Duschek, A. (1965). Zahlen und Zahlenfolgen. In: Vorlesungen über höhere Mathematik. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-7691-7_2
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