A Self-Validating Method for Solving Linear Programming Problems with Interval Input Data

Abstract

A Self-Validating Method for Solving Linear Programming Problems with Interval input Data. Linear programming problems are very important in many practical applications. They are usually solved by the simplex method. The computational results are, in general, good approximations to the solution of the problem. However, in some cases the computed approximation may be wrong due to round-off and cancellation errors. In practice it occurs frequently that the input data of a linear programming problem are not known exactly but are afflicted with tolerances. In this case it has to be precisely defined what a “solution” to such a problem is. A sensitivity or postoptimality analysis is necessary.

In the following a method for linear programming problems with interval input data is described which computes guaranteed lower and upper bounds for all optimal vertices and the optimal value. The method controls rigorously all round-off errors and gives an automatic sensitivity analysis. As an example a diet problem is treated to demonstrate how the method in principle works.

Zusammenfassung

Eine EinschlieBungsmethode zur Lösung linearer Optimierungsprobleme mit Intervalleingabedaten.Lineare Optimierungsprobleme treten sehr häufig in der Praxis auf. Eine effiziente Methode zur Lösung solcher Probleme ist das Simplexverfahren. Die näherungsweise berechneten Lösungen approximieren im allgemeinen die exakte Lösung des Problems gut. Allerdings kann das Auftreten von Rundungssowie Auslöschungsfehlern auch zu völlig falschen Resultaten führen.

Bei den meisten praktischen Anwendungen sind die Eingabedaten toleranzbehaftet. In solchen Situationen ist eine Sensitivitätsanalyse oder auch postoptimale Analyse notwendig.

Im folgenden wird ein Algorithmus für lineare Optimierungsprobleme mit Intervalleingabedaten angegeben, der unter sehr allgemeinen Voraussetzungen strenge Einschließungsintervalle für die Komponenten aller auftretenden optimalen Ecken und für den optimalen Zielfunktionswert berechnet. Anhand eines Ernährungsproblems wird gezeigt, wie mit dieser Methode eine automatische Sensitivitätsanalyse mit Rundungsfehlerkontrolle durchgeführt werden kann.