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On Arithmetical Problems of Geometric Algorithms in the Plane

  • Th. Ottmann
  • G. Thiemt
  • Ch. Ullrich
Part of the Computing Supplementum book series (COMPUTING, volume 6)

Abstract

On Arithmetical Problems of Geometric Algorithms in the Plane. In the last years computational geometry has achieved a mature status within the framework of algorithms and data structures. Hundreds of new solutions for geometric problems are avaiable now. Corresponding algorithms are distinguished by clever data structures, rigorous proofs and nontrivial complexity analysis.

The application of the new algorithms in real systems is less successful. One of the reasons for this phenomenon is given by the numerical problems occurring during execution of nearly all geometric algorithms.

This paper gives an introduction to the latter class of problems in geometric algorithms The scan-line algorithm for computing all pairs of intersecting line segments in the plane serves as model example for the isolation of basic operations which have to be handled numerically correct. It can be shown that the optimal evaluation of arithmetic expressions provides a solid tool for the solution of the problems.

Keywords

Line Segment Intersection Point Vertical Structure Geometric Object Original Point 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Zusammenfassung

Über arithmetische Probleme bei geometrischen Algorithmen in der Ebene. In den letzten Jahren hat die algorithmische Geometrie einen hohen Standard im Hinblick auf Algorithmen und Datenstrukturen erreicht. Hunderte neuer Lösungen für geometrische Probleme stehen heute zur Verfügung. Die zugehörigen Algorithmen zeichnen sich durch ausgeklügelte Datenstrukturen, strenge Beweise und eine nichttriviale Komplexitätsanalyse aus.

Die Anwendung der neuen Methoden in realen Systemen ist weniger erfolgreich. Einen der Gründe für dieses Phänomen bilden die numerischen Schwierigkeiten, welche bei der Ausführung nahezu aller geometrischen Algorithmen auftreten.

Die vorliegende Arbeit gibt eine Einführung in diese Problematik. Als ein Modell für die Isolierung der Elementaroperationen, welche numerisch korrekt zu behandeln sind, dient der scan-line Algorithmus zur Berechnung aller Paare sich schneidender Liniensegmente einer vorgegebenen Segmentmenge in der Ebene. Es zeigt sich, daß die optimale Auswertung arithmetischer Ausdrücke ein solides Werkzeug zur Lösung der Probleme darstellt.

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Copyright information

© Springer-Verlag/Wien 1988

Authors and Affiliations

  • Th. Ottmann
    • 1
  • G. Thiemt
    • 2
  • Ch. Ullrich
    • 3
  1. 1.Institut für InformatikUniversität FreiburgFreiburgFederal Republic of Germany
  2. 2.Computer VisionDeutschland GmbHOstfildern 1Federal Republic of Germany
  3. 3.Institut für InformatikUniversität BaselBaselSwitzerland

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