Testfunktionenräume

Zusamenfassung

Die Topologie eines Vektorraumes wird nicht immer (wie im Falle eines Hilbert-Raumes (oder Banach-Raumes)) durch eine Norm gegeben. Wir wollen hier zunächst ein allgemeines Verfahren besprechen, auf einem Vektorraum V eine Topologie so einzuführen, daß die linearen Operation des Vektorraumes V stetige Funktionen werden, d.h. daß

$$ \begin{gathered} A:V \times V \to V, A(x,y) = x + y \hfill \\ M:K \times V \to V, M(\lambda ,x) = \lambda x, K = R oder C, \hfill \\ \end{gathered} $$

stetige Funktionen werden. Das kann auf viele verschiedene Arten geschehen. Ein Vektorraum V, der eine Topologie T derart trägt, daß A und M stetig sind, heißt ein topologischer Vektorraum.