Dimension und Zusammenhangsstufe

Zusammenfassung

In früheren Arbeiten von einem von uns¹) wurde die Möglichkeit einer Beschreibung der Zusammenhangsverhältnisse der Räume auseinandergesetzt, welche die übliche Definition des Zusammenhanges durch Einführung des Zusammenhanges verschiedener Stufen erheblich verfeinert. Es wurde dort darauf hingewiesen, daß sowohl die Strecke als auch die Quadratfläche und der Würfelkörper zusammenhängend sind, daß wir aber doch geneigt sind, die Quadratfläche fester zusammenhängend als die Strecke und minder stark zusammenhängend als den Würfel zu nennen, und daß uns ebenso eine Menge, welche Summe ist von zwei Quadratflächen, die bloß einen Eckpunkt miteinander gemein haben, schwächer zusammenhäng end erscheint als eine Quadratfläche.

Vgl. Menger, „Bericht über die Dimensionstheorie“, Jahresber. d. deutschen Math. Ver. 35, S. 144 f. Siehe ferner die Hinweise in den beiden Abhandlungen „Über die Dimension von Punktmengen“, Monatshefte f. Math. u. Phys. 33 (1923), S. 160 und 34 (1924), S. 156 u. S. 161, sowie die Note „Zusammenhangsstufe und Cantorsche Mannigfaltigkeiten“, Proc. Ac. Amsterdam 30, S. 705.