Courbes minimisantes non rectifiables et champs généraux de courbes admissibles dans le calcul des variations

Résumé

Soit D un domaine fermé et borné d’un espace euclidien, f(p,S) une fonction définie pour les points p de D et les directions .S de l’espace. P = [p ₁,…, p _n ) étant un polygone, nous posons

$$ \iota (p,f) = \sum {f(pi,si)d(pi, + i),} $$

Si désigne la dirction de p _i à p _i+1 et d(p, q) d’une façon générale la distance des points p et q. Soit C une courbe (image continue d’un intervalle fermé). Si pour toute suite distinguée P ₁, P ₂,… de sous-polygones de C les nombres ι(P ₁,f), ι(P ₂,f),… convergent, nous considérerons;, comme l’ont fait, indépendamment l’un de l’autre, M. Bouligand et moi, leur limite (qui est indépendante de la suite distinguée considérée) et nous la désignerons par ι(C, f).

Séance du 11 mai 1936.