Grundzüge einer Theorie der Kurven

Zusammenfassung

Wir bezeichnen mit dem Wort „Kurve“ so zahlreiche interessante geometrische Gebilde, daß wir erwarten dürfen, aus einer zweckmäßigen begrifflichen Präzisierung unserer Kurvenvorstellung eine ausgedehnte Theorie herleiten zu können. Die älteren Kurvendefinitionen wurden freilich, wie sich herausstellte, den Forderungen der Anschauung nur in geringem Maße gerecht: Sowohl die Jordanschen Kurven (die eindeutigen stetigen Bilder der Strecke), als auch die irreduziblen Kontinua können bekanntlich ganze Flächenstücke enthalten, — zu den einfachen Kurvenbögen (den topologischen Bildern der Strecke) gehört anderseits schon eine so einfache Kurve, wie die Kreislinie, nicht, — und die Cantorsche Definition der ebenen Kurven als nirgends dichte Kontinua ist auf andere Euklidische Räume prinzipiell unübertragbar. Es ist angesichts der Schwierigkeiten, welche insbesondere das Ausgehen vom Abbildungsbegriff mit sich bringt, nicht verwunderlich, wenn Hausdorff¹) geradezu leugnet, daß sich unsere heterogenen Kurvenvorstellungen unter einen vernünftigen Sammelbegriff überhaupt bringen lassen.

Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 369.