Die lineare Abbildung des gewöhnlichen Punktraumes auf die Punktepaare in der Ebene (Zweibilderprinzip)

Zusammenfassung

Das wichtigste Verfahren der darstellenden Geometrie besteht darin, daß man die Raumpunkte als Elemente auffaßt und sie auf Punkte in der Bildebene II abbildet. Wir denken uns zur Festlegung der Raumpunkte ein beliebig liegendes rechtwinkliges Koordinatensystem (x, y, z) und in II für die Bildpunkte ebenfalls ein solches (ξ, η); zwischen beiden Koordinatensystemen bestehe vorderhand kein Zusammenhang. Wenn man nun einen Punkt p (x, y, z) auf einen Bildpunkt p′ (ξ′, η′) beziehen wollte, so wäre diese Abbildung (wie das Beispiel im 1. Abschnitte) unbestimmt; wir nehmen daher einen zweiten Bildpunkt p″ (ξ″, η″) hinzu und legen fest, daß p nun durch das Punktepaar p′ p″ abgebildet werde. Die Elemente der Bildmannigfaltigkeit sind jetzt nicht einzelne Punkte, sondern Punktepaare, die orientiert sind, das heißt, von denen feststeht, welcher Punkt des Paares der erste und welcher der zweite ist. In dieser Auffassung ist die Bildmannigfaltigkeit vierdimensional, da zu einem Punktepaare die Koordinaten ξ′, η′, ξ″, η″ gehören. Da der abzubildende Punktraum aber bloß dreidimensional ist, so müssen die Bildpunkte einer Einschränkung unterworfen sein (Fall 2 auf S. 3). Wir erhalten nun eine solche Abbildung ganz allgemein, indem wir ξ′, η′, ξ″, η″ als Funktionen von x, y, z ansetzen.