Der direkte und der umgekehrte (inverse) Schluß in der heterograden Theorie

Zusammenfassung

Ehe wir unsere Darstellung beginnen, glauben wir nochmals die Aufmerksamkeit des Lesers darauf lenken zu müssen, daß die statistischen Gesamtheiten, mit denen es die heterograde Theorie zu tun bekommt, unvergleichlich bunter und komplizierter sind als diejenigen, die in der homograden Theorie auftreten. Vom Standpunkte des Mathematikers bestehen ja die letzteren nur aus Nullen und Einsen, die in der Proportion $\frac{M}{N}~=~p~und~\frac{N-M}{N}=q$ miteinander vermengt sind (vgl. oben § 2, Kap. II), während die ersteren aus beliebigen, positiven oder negativen ganzen oder nicht ganzen Zahlen bestehen können, irrationale Zahlen durchaus nicht ausgeschlossen. Es wird hieraus ersichtlich, daß auch die Sätze, welche verschiedene allgemeine Beziehungen zwischen solchen Gesamtheiten ausdrücken, einerseits viel komplizierter und anderseits viel unbestimmter sein müssen. Wenn man im Falle der homograden Gesamtheiten eigentlich mit den Quotienten p und p′ auskommen und alle übrigen sonst auftretenden statistischen Parameter einfach als Funktionen von p, p′, N und n darstellen kann, so hat man es bei den hetero-graden statistischen Gesamtheiten mit einer unendlichen Folge von statistischen Parametern zu tun: die Reihe der m _i , der μ _i , der Produktmomente, der Semiinvarianten, der Kumulanten usw. (vgl. oben Kap. II, § 5). Und solange man über den Charakter des Verteilungsgesetzes der zufälligen Variablen keine zusätzlichen Annahmen macht, kann die Stelle des genauen Binomialsatzes (Kap. I § 3) und der angenäherten Exponentialsätze von De Moivre-Laplace (Kap. I, § 4–6) und Poisson (Kap. I, § 12) nur die Markoff sehe verallgemeinerte Ungleichung einnehmen (Kap. II, § 8), welche jedoch, wie wir später sehen werden, eine viel größere Variationsbreite für die betreffenden Wahrscheinlichkeiten zuläßt und in dieser Hinsicht bedeutend weniger vorteilhaft ist. Will man das Verteilungsgesetz der statistischen Gesamtheit genauer präzisieren, so bewirkt gerade ihre Variabilität, daß je nach den konkreten Umständen eine sehr große Zahl von Näherungsformeln angewandt werden kann und daß es, wie sich herausstellt, unter diesen keine einzige gibt, die in der Praxis auf alle Fälle passen würde, denn Formeln, die das Verteilungsgesetz durch eine unendliche Folge von statistischen Parametern darstellen, sind nur vom abstrakt mathematischen und nicht vom praktisch-statistischen Standpunkt als „Lösungen“ aufzufassen.