Zusammenfassung
Es sei p ein beliebiges Primideal des P-Ringes K [x 1…, x n ], den wir kurz mit o bezeichnen. Der Restklassenring o/p ist ein Integritätsbereich (126.1), welcher den Zahlkörper K, oder genauer einen mit K isomorphen Körper umfaßt; dieser wird von allen denjenigen Restklassen mod p gebildet, welche ein Element aus K enthalten.2 Den Quotientenkörper des Restklassenringes o/p nennen wir kurz den Restklassenhörper des Primideals p und bezeichnen ihn mit op.
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsPreview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Wir dürfen diesen Körper, um Schwerfälligkeiten im Ausdruck zu vermeiden, mit K identifizieren (115.16).
Er ist also überhaupt kein Körper, da jeder Körper außer dem Nullelement noch mindestens ein weiteres Element enthalten muß (003.3).
Man könnte auch von vornherein davon absehen, die Begriffe Dimension und Bang auf das Einheits- und Nullideal auszudehnen.
Wir erinnern daran, daß wir immer „komplexe” Dimensionen verstehen; die Anzahl der „reellen” Dimensionen ist das doppelte (123.1).
K [x 1] ist Hauptidealring (122.8).
Es gibt sicher ein solches Polynom, denn es gibt in p sogar ein Polynom, das nur von x 2 abhängt und als höchsten Koeffizienten 1 besitzt (131.4). Es ist zu beachten, daß p 2 noch nicht eindeutig bestimmt ist, da man gewisse Vielfache von p 1 hinzufügen kann, ohne an den angegebenen Eigenschaften etwas zu ändern. Diese Unbestimmtheit kann durch die weitere Forderung behoben werden, daß p 2 bezüglich x 1 geringeren Grad als p 1 haben soll.
Ein Primideal, dessen Restklassenring nicht nur nullteilerfrei, sondern sogar ein Körper ist, besitzt keinen echten Teiler außer dem Einheitsideal, weil jedem Teiler ein Ideal des Eestklassenringes umkehrbar eindeutig zugeordnet ist (115.17–19); ein Körper enthält aber keine andern Ideale als das Null- und Einheitsideal.
Der Restklassenring ist hier mit dem Restklassenkörper identisch.
Die entscheidende Tatsache, auf der unser Beweis beruht, liegt in der Formel (141.9e) ausgedrückt. Danach ist nämlich die Hilbertfunktion H(t;(p, q)) für alle Formen q, die nicht in p liegen und denselben Grad haben, die nämliche, gleichgültig von welchen Variablen q abhängt.
Man muß das Polynom q zu diesem Zweck aus einer Restklasse mod p nehmen, welche keine Einheit des Restklassenringes ist. Solche Restklassen gibt es bei jedem Primideal, dessen Dimension d ≧ 1 ist. Für nulldimensionale Primideale ist die Behauptung trivial.
Math. Ann. 115 (1938), S. 339.
Wir hätten also zu zeigen, daß das Ideal (φ, l 1…, l n -1) genau t Nullstellen besitzt; das werden wir idealtheoretisch in 143 durchführen. Hier schlagen wir einen andern Weg ein, der uns zu den wichtigen Begriffen der Polaren und Tangenten hinführt.
Vgl. die Anmerkung zu (6f).
Macaulay, Tract 50.
Die Definition der ganzen algebraischen Größen über einem Ring ohne Einselement siehe bei v. d. Waerden, Moderne Algebra II, § 98.
Die Diskriminante eines Polynoms f (x) ist die Resultante r (f, f′); siehe etwa v. d. Waerden, Moderne Algebra I, § 24.
Ein Primideal heißt in einem Ring minimal, wenn es keine Primidealvielfache, ausgenommen das Nullideal oder Nullteilerideale, besitzt.
Bei den algebraischen Größen der zweiten Klammer genügt Ringadjunktion (116.5).
Die Bedeutung des Begriffes supernormal wird in 144. 17–18 eine weitere Klärung erfahren.
Bis auf die unwesentliche Aussage über die Dimension von p*.
Unter allgemeineren Voraussetzungen wurde dieser Satz von W. Krull (Ber. Akad. Heidelberg, 1928, 7. Abh.) bewiesen: In einem Integritätsbereich mit Einselement ist jedes isolierte Primideal eines Hauptideals, das nicht das Nulloder Einheitsideal ist, minimal. Der Beweis dieses allgemeinen Satzes erfordert natürlich mehr Mühe.
W. Krull, Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen, Ber. Akad. Heidelberg 1928, 7. Abh.
Bei der Anwendung dieses Satzes auf (6a) ist zu beachten, daß u und ū teilerlos sind und daher die symbolischen Potenzen mit den gewöhnlichen Po tenzen zusammenfallen (136.20).
Sind Primärkomponenten der einen oder andern Art nicht vorhanden, so setzt man an deren Stelle das Einheitsideal.
Der Fall eines allgemeinen Primideals kann leicht auf denjenigen eines teilerlosen zurückgeführt werden, indem man zu dem Quotientenkörper übergeht, in dem alle durch p nicht teilbaren Elemente als Nenner zugelassen werden.
Wie man sieht, ist die Voraussetzung, daß die Potenzreihen regulär sind, d. h. in einer Umgebung des Ursprungs konvergieren, ganz überflüssig.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1949 Springer-Verlag in Vienna
About this chapter
Cite this chapter
Gröbner, W. (1949). Dimensionstheorie der Polynomideale. In: Moderne Algebraische Geometrie. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-5740-4_4
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-5740-4_4
Publisher Name: Springer, Vienna
Print ISBN: 978-3-211-80090-4
Online ISBN: 978-3-7091-5740-4
eBook Packages: Springer Book Archive