Zusammenfassung
Unter einer Nullstelle eines P-Ideals a im P-Ring K [x 1…, x n ] verstehen wir ein System {ξ1,…, ξ n} von Zahlen aus dem Konstantenkörper K (oder aus einer algebraischen Erweiterung von K, falls K nicht algebraisch abgeschlossen ist), für welches jedes Polynom f (x 1,…, x n ) des Ideals a verschwindet:
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Literatur
Die Summationen erstrecken sich, wenn nichts weiter angegeben ist, immer über die doppelt vorkommenden Indizes und über die Zahlen 1,…, n.
Daß entsprechende Werte für die Unbestimmten u innerhalb K existieren, ist evident, weil K unendlich viele Zahlen enthält, während nur endlich viele Werte, nämlich die Wurzeln gewisser algebraischer Gleichungen zu vermeiden sind. Daher wird eine allgemein angesetzte lineare homogene Transformation immer das Gewünschte leisten.
Hinsichtlich des Summenzeichens und des Symbols [k, l] vgl. 116.25.
Mindestens eines der beiden Polynome f und g muß den angegebenen Grad l, bzw. m wirklich besitzen.
Sie ist natürlich identisch mit der Determinante, von der in 2 die Eede war.
Mit anderen Worten, die beiden Polynome erreichen nicht die angegebenen Grade.
Mit Ausnahme des Teiles, der die Eesultante betrifft; denn die Resultante ist nur für zwei Polynome definiert worden.
Ein Ring heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal des Ringes Hauptideal ist, also durch ein einziges Ringelement erzeugt werden kann. Der Ring der ganzen rationalen Zahlen J ist beispielsweise Hauptidealring, nicht aber der P-Ring J [x], in dem z. B. das Ideal (4, 2x) keine eingliedrige Basis besitzt.
Es versteht sich, daß die Nullstellen von a dem Quotienkörper K, bzw. einer algebraischen Erweiterung desselben angehören dürfen.
r (g u , g v ) ist eine Form der Unbestimmten u i , v i, deren Koeffizienten dem Körper K [x 1…, x n- 1] angehören und das Resultantensystem von a ausmachen. Das Kroneckersche Resultantensystem ist im Gegensatz zum Eliminationsideal von der speziellen Basis des Ideals a abhängig; es bildet im allgemeinen auch keine Basis des Eliminationsideals, wie wir bereits in 11 bemerkten. Das ist der Grund, weshalb der oben neu eingeführte Begriff des Eliminationsideals demjenigen des Resultantensystems überlegen ist.
Verallgemeinerung dieses Satzes auf Ideale in 127. 3.
D. h. a enthalte mindestens ein in bezug auf x n reguläres Polynom (122.13 Anm).
Das bloße Auftreten der Variablen x 0 soll ohne weiteren Zusatz im folgenden immer schon anzeigen, daß es sich um homogene Variable handelt.
Hurwitz nennt die Formen des Resultantenideals „Trägheitsformen“.
Die Entwicklungen dieser und der nächsten Nummern werden später nicht mehr gebraucht, können daher ohne Beeinträchtigung für das Verständnis des folgenden überschlagen werden.
F. S. Macaulay, Some Formulae in Elimination, Proc. London Math. Soc. 35 (1903), p. 3–27. Der oben gegebene Beweis ist gegenüber dem Macaulay-schen vereinfacht.
Andernfalls würde sie nur von den Koeffizienten der Formen φ0,…,φn-1 abhängen, welche algebraisch unabhängig sind, was dem Satz in 9 widerspricht.
Hier ist die Spezialisierung (18a) wieder aufgehoben.
Das sind nämlich die Zeilen und Kolonnen, in welchen β n auftritt.
Bis auf einen Zahlenfaktor, der aber 1 sein muß, wie man durch Spezialisierung von A zur Einheitsmatrix ersieht.
Unsere Betrachtungen beschränken sich grundsätzlich auf kommutative Ringe mit Einselement, auch wenn wir diese Kennzeichnung in Zukunft nicht mehr regelmäßig wiederholen werden.
Solche Primärideale nennt man schwach primär, im Gegensatz zu den stark primären bei welchen eine obere Schranke für ϱ existiert. vgl. auch 136.20.
a: c ist gleichbedeutend mit a: (c).
W. Gröbner, Über irreduzible Ideale in kommutativen Ringen, Math. Anm. 110 (1934), S. 197–222.
E. Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann. 60 (1905); E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann. 83 (1921); der oben wiedergegebene Beweis stammt von E. Noether.
„Relevant primary module“bei Macaulay.
„Isolated primary module“bei Macaulay.
„Imbedded primary module“bei Macaulay.
Es soll natürlich nicht ausgeschlossen werden, daß man in besonderen Fällen das NG eines homogenen Ideals im affinen Raum betrachten kann, als ob es sich um ein inhomogenes Ideal handelte.
Es ist wesentlich, daß nur algebraische Gleichungen dabei auftreten. Eine oder mehrere transzendente Gleichungen, z. B. y—e x = 0, besitzen als NG keine algebraische Punktmannigfaltigkeit. Es dürfen zu den Gleichungen auch keine Ungleichungen hinzutreten; z. B. wird durch y—x = 0, x ≧ 0 ein vom Ursprung ausgehender Strahl (Halbgerade) festgelegt; diese Punktmannigfaltigkeit ist in unserem Sinne nicht algebraisch. Dasselbe gilt von einer Strecke, von einer Geraden, von der ein oder mehrere Punkte weggenommen wurden, von einem Halbkreis (Linie), von einer Kreisfläche oder dem Innern einer Kugel usw. Zur Definition dieser Punktmannigfaltigkeiten müssen jeweils außer algebraischen Gleichungen auch noch Ungleichungen herangezogen werden.
Die folgenden Entwicklungen beziehen sich in gleicher Weise auf inhomogene und homogene Ideale sowie auf deren NG oder AM im zugehörigen affinen oder projektiven Darstellungsraum.
Vereinigungsmenge oder Summe von zwei oder mehr Mengen ist im gewöhnlichen mengentheoretischen Sinne als die Menge derjenigen Elemente zu verstehen, welche in wenigstens einer der zu summierenden Mengen enthalten sind. Es dürfen also nicht etwa Nullstellen, die sowohl in NG (a) wie in NG (b) gleichzeitig auftreten, in NG (a) + NG (b) doppelt gezählt werden.
Dabei ist nicht ausgeschlossen, daß die einzelnen Ideale auch noch in andern als den vorgegebenen Punkten verschwinden; bei nicht algebraischen Punktmannigfaltigkeiten wird das sogar notwendig immer der Fall sein.
Die Teilmannigfaltigkeiten müssen algebraisch sein, da sonst jede Punktmenge, die mehr als einen Punkt enthält, in echte Teilmengen aufgespaltet werden könnte, z. B. eine Kreisperipherie in zwei Hälften usw.
Auf die Unterscheidung zwischen Doppelpunkten im strengen Sinn (2 lineare Zweige) und Spitzen (1 irreduzibler Zweig 2. Ordnung) brauchen wir an dieser Stelle noch nicht einzugehen.
Wir glauben dieses Ergebnis vorwegnehmen zu dürfen, wenn auch die erschöpfende allgemeine Untersuchung und die genaue Formulierung der dabei zu beachtenden Eegeln noch aussteht.
Die sogenannten „Hilbertschen Gleichungen“eines P-Ideals (141.6).
Der hier eingeführte Begriff der Multiplizität ist nicht identisch mit dem in der übrigen Literatur gebräuchlichen. Der erste ist rein idealtheoretisch definiert, während der zweite auf gewissen umständlichen und schwer definierbaren Stetigkeitsbetrachtungen gegründet ist. In allen einfachen Fällen stimmen beide Begriffe noch überein, erst in komplizierten Fällen ergeben sich Unterschiede. Das kommt besonders beim Bezoutschen Satz zum Ausdruck, der mit dem obigen idealtheoretischen Multiplizitätsbegriff nicht mehr mit derselben Allgemeinheit gilt. Dieser Nachteil wird durch die größere Schärfe und Klarheit der idealtheoretischen Begriffsbildung ausgeglichen (144.8).
Das folgt aus dem Satz von Jordan und Hölder über die Isomorphie der Kompositionsreihen einer Gruppe. Wir geben oben einen den vorliegenden einfachen Verhältnissen angepaßten Beweis.
Bei algebraisch abgeschlossenem Zahlkörper K; andernfalls sind die Primideale p = (p), wo p ein irreduzibles Polynom aus K [x] bedeutet; die zugehörigen Primärideale sind die Potenzen von p, so wie oben.
Die „Geometrie auf einer algebraischen Kurve“ist gleichwertig der Idealtheorie des Restklassenringes nach dem Primideal, welches die Kurve definiert. In diesem Restklassenring sind alle Primärideale Potenzen ihrer Primideale, ausgenommen diejenigen Primideale, welche Singularitäten (Doppelpunkte usw.) der Kurve beinhalten.
Man muß sich die Vorstellung zu eigen machen, daß es auf einem linearen Zweig einer Kurve nur einen Punkt in der ersten Nachbarschaft des Kernpunktes gibt, nicht etwa zwei, einen „vorne“und einen „rückwärts“.
Wie schon einmal angedeutet wurde, könnte man die dabei verwendeten Begriffe „benachbarte“und „vielfache“Punkte (Mannigfaltigkeiten) auch völlig ausschalten, wenn man an deren Stelle gewisse Beziehungen einsetzte, denen die Koeffizienten der Polynome, oder was dasselbe ist, ihre Ableitungen an der betrachteten Stelle genügen müssen. Wie wir sehen werden, ist die Anzahl dieser
Gleichungen, die linear und homogen sind, genau gleich der Multiplizität des Primideals. Aber durch diese Abstraktion würde die ganze Anschaulichkeit der Überlegungen, die ja gerade erzielt werden soll, verloren gehen. Man könnte diesen Verzicht für berechtigt erklären, wenn es sich darum handelte, die Sicherheit und Beweiskraft der Entwicklungen damit zu erhöhen. Das ist aber nicht der Fall, weil die Beweise völlig unabhängig von der geometrischen Interpretierung geführt werden müssen. Die geometrische Veranschaulichung der Idealtheorie in P-Ringen, welche in der algebraischen Geometrie erfolgt, soll nicht dem Zwecke dienen, die logischen Beweise zu stützen und zu erhärten, sondern einem ganz andern, wenn man will übergeordneten Zwecke, nämlich den Erzeugnissen unseres reinen Verstandes einen neuen Inhalt und eine gewichtige Bedeutung zu verleihen, indem sie zu der realen, unseren Geist umgebenden Welt in Wechselbeziehung gesetzt werden.
Es ist zu beachten, daß die einer Kernmannigfaltigkeit benachbarten Mannigfaltigkeiten keiner andern Mannigfaltigkeit benachbart sind; daher können sie bei der Summenbildung (24b) nicht verwechselt werden.
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Gröbner, W. (1949). Nullstellentheorie der Polynomideale. In: Moderne Algebraische Geometrie. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-5740-4_3
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