Zusammenfassung
Vorbemerkung. In den Abschnitten A und B soll ein möglichst vollständiger, aber nur andeutender Überblick über die durch die Überschriften jeweils gekennzeichneten Verfahren gegeben werden, nach denen man bisher bemüht war bzw. ist, das (ebene) Widerstandsproblem zu behandeln. Am Anfang steht einerseits die (keinen Widerstand liefernde) gewöhnliche Potentialströmung in idealer Flüssigkeit (A 1), andererseits das System der Bewegungsgleichungen zäher Flüssigkeit (B 1). Es werden keine Ableitungen, sondern nur Gedankengänge, Ansätze und Resultate kritisch mitgeteilt. Dagegen sind in den folgenden Abschnitten C, D und E die modernen Lamb-Oseen-Zeilonschen Rechnungen eingehender behandelt; auf ihre Darlegung kam es dem Verf. in dem theoretischen Teil der vorliegenden Arbeit vor allem an. Den Schlußabschnitt F bildet ein kurzer, einige neue Gedanken enthaltender „Ausblick“; an diesen hofft Verf. in späterer Zeit einige Arbeiten anschließen zu können.
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Literatur
„Bemerkung zu dem vorstehenden Aufsatz“ von D. T h o ma: Z. F. M. 1925, S. 208, sowie T. B. der Flugzeugmeisterei II, S. 79.
Vgl. Lord Rayleigh: Scientific Papers I, S. 297; III, S. 491.
Vgl. jedoch den Nachweis der Möglichkeit einer spiraligen Aufrollung in speziellen Fällen bei Prandtl: Entstehung von Wirbeln in idealer Flüssigkeit, Vorträge aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamik, Innsbruck 1922. Berlin: Julius Springer 1924.
Föppl, L.: Bayer. Akad. 1913, S. 1–17; Rubach: Forschungsheft 185 des VD I 1916; Caldonazzo: Lincei Rend. 1919.
Die Rechnungen von S. Br odetsky: „Discontinuous Fluid Motion Past Curved Barriers“, Verh. cl. 2. Intern. Kongr. f. techn. Mechanik, Zürich 1926 (Grell-Füßli 1927) stellen nur einen ersten Schritt dar. Sie sind mir erst nach Abschluß der Arbeit bekannt geworden, ebenso wie die Arbeit: L. Rosenhead, Brodetsky: „Resistance to a Barrier in the Shape of an Arc of a Circle”, Proc. Roy. Soc. A London, Vol. 117, p. 417–433.
Vgl. die bei W. Müller: Mathematische Strömungslehre, Berlin: Julius Springer 1928, auf Seite 109 durchgeführte Gegenüberstellung mit einer Messung von Er misch.
Siehe Eisner: Druckmessung an umströmten Zylindern. Z. A. M. M. 1925.
Die Darstellung folgt im wesentlichen — unter starker Kürzung — nicht der Arbeit Jacobs, sondern dem Bericht W. Müllers über die Arbeit von Jacob in „Mathematische Strömungslehre“, S. 138ff. Berlin, Julius Springer 1928.
Jahresberichte d. Deutschen Math. Vereinigung 1916. Hamel suchte nach Lösungen für die stationäre ebene Bewegung, bei denen die Stromlinien die gleichen sind wie bei der Potentialbewegung, aber die Geschwindigkeitsverteilung eine andere ist.
Vgl. jedoch hierzu: Oseen: Arkiv f. matematik, astr. och fysik, XX, 2. Hälfte Nr. 14. 1927/28.
Über die „Einordnung“ der Grenzschichttheorie in die allgemeine exakte Theorie s. v. Mises: Bemerkungen zur Hydrodynamik, Kissinger Versammlg. d. Ges. f. angew. Math. u. Mech. 1927, Auszug s. Z. A. M. M. 1927, S. 425.
Vor allem Prandtl: Verhandl. d. III. Internat. Math. Kongreß, Heidelberg 1904; Neudruck in: 4 Abhandlungen zur Hydrodynamik und Aerodynamik, Göttingen 1927, Selbstverlag des Kaiser-Wilhelm-Instituts f. Strömungsforschung. — Blasius: Diss. 1907 = Z. f. Math. u. Phys. Bd. 56, S. 1. 1908.
Burgers hat sich in seiner hier nicht näher behandelten Arbeit (Amst Akad. XXIX II, 1921) der Mühe unterzogen, für die von ihm betrachtete Lamb-Oseensche Lösung der nachstehend behandelten erweiterten Stokesschen Gleichungen das „absolute“ und das „relative” Stromlinienbild aufzuzeichnen, s. Abb. 37.
Oseen: Hydrodynamik S. 36 und 177, sowie Oseen-Faxén in Riemann-Weber-Mises Bd. 2, S. 823 und 831.
S. über Besselsche Funktionen: Verzeichnis berechneter Funktionentafeln I, Berlin 1928. Courant-Hilbert: Methoden I, S. 385ff., auch Riemann-Weber-Mises Bd.I, S.336 und Bd. II, S. 454ff. (Beitrag Sommerfeld) und eingehender bei Gray und Mathews: Treatise on Bessel Functions S. 68, sowie Jahnke-EmdeFunktionentafeln; über Hankelsche Funktionen s. a. 011endorff: Erdströme. Berlin: Julius Springer 1928.
Vgl. Riemann-Weber-Mises Bd. 1, S. 650ff. — Als Fundamentalintegral F(x, y, z) einer linearen Differentialgleichungf (ox, 0 y,) u = 0 wird hier nach Zeilon: Ark. för Mat. Astr. och Fysik 1910 in etwas
Eine Zusammenfassung, die aber teilweise nur die Ergebnisse früherer Arbeiten im Resultat mitteilt, findet man in 0seens Buch: Hydrodynamik 1927, von S. 211 bis 280.
Eine auf den Zylinder zu gerichtete „Einströmung“ im Kielwasser, die durch eine „radiale Ausströmung” vom Zylinder nach außen kompensiert wird, wird näher betrachtet bei Filon: Roy. Soc. Proc. A Bd. 113, S. 7 bis 27, 1926 und Phil. Trans. A 227, S. 93 bis 135; 1928, Nr. 650. Man vgl. hierzu eine in der in Anmerkung 30 zitierten Arbeit enthaltene Bemerkung von Prandtl.
Nach einem Brief von Zeilon an Verf.: „Das Haften der Flüssigkeit an der Rückseite ist für die Oseensche Theorie allerdings eindeutige Forderung. In dem Sinn nämlich, daß die Theorie für Z 0 davon ausgeht, daß die Flüssigkeit überall am Körper haftet. Für Z = 0 resultiert dann das Haften an der Rückseite als notwendige Folgerung.“ Über die hinsichtlich des stetigen Druckverlaufs grundlegende Zeilonsche Erweiterung von 1927, siehe Abschnitt E; in Abschnitt F siehe die Gedanken des Verf. zum weiteren Ausbau der Theorie.
Bei Annahme der Grenzschicht (s. unter F) würde hier „Übergangsgebieten endlicher Dicke (quer zur Grenzschicht)“ zu sagen sein, vgl. im übrigen Zeilons Einführung der Gleitintervalle S. 61ff.
Diese von Oseen in seinen Arbeiten öfters gegebene Fassung trägt wahrscheinlich die Schuld daran, daß man die „teilweise Vernachlässigung der Wirbelkomponente“ vielfach nicht ganz als berechtigt empfand. Wenn man aber die von Oseen wirklich durchgeführte Vernachlässigung genauer betrachtet, nämlich die Vernachlässigung der Produkte, so erscheint sie, namentlich in der klaren Formulierung von Zeilon (s. Abschnitt E) als eine erste Näherung für das „Störungsproblem”.
Die Ableitung, die rein mathematischer Natur ist und ziemlichen Umfang hat, ist für die Behandlung des physikalischen Problems ohne Bedeutung. Sie ist daher hier unterdrückt worden; an Stelle dessen wird nachstehend verifiziert, daß die Lösung den geforderten Bedingungen genügt Man findet den Gang der Lösung ausführlich bei Zeilon, 1. c. oder kürzer bei Oseen: Hydrodynamik, S.282–290 und 297–299; ferner mit anderer Ableitung bei Burger s, Proceedings der Amsterdamer Akademie der Wiss. XXXI, Nr. 4 u. 5, 1928.
Diese Verifizierung ist der Oseenschen Darstellung (Hydrodynamik S. 297–300) entnommen. Lösung der Probleme.
Die nachstehende Darstellung stützt sich auf die als Anhang zu Oseens Buch: Hydrodynamik, 1927 sowie in den Verh. d. II. Intern. Kongresses für Techn. Mechanik, Zürich 1927 auszugsweise erschienenen zwei Züricher Vorträgen von Zeilon (1926), sowie auf die Abhandlung: Beiträge z. Theorie des asymptotischen Flüssigkeitswiderstandes, Uppsala 1927 (Nova acta regiae soc. scientiarum Upsal.), ferner auch auf ergänzende, briefliche Ausführungen von Zeilon an den Verfasser. Die Stellen, an denen diese Quellen wörtlich zitiert sind, sind durch Anführungsstriche hervorgehoben.
Siehe Eisner: Druckmessung an umströmten Zylindern. Z. A. M. M. 1925, S. 486.
In der Fassung von v. Mis es, Z. A. M. M. 1927, S. 425. (Kissinger Tagung) genügt die Tatsache einer längs eines Stromfadens (im Fall der „Grenzschicht“ ist es die Stromlinie an der Wand) vorhandenen Energie-dissipation und große Reynoldssche Zahl, um zu dieser Gleichung zu gelangen.
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Eisner, F. (1929). Stand der Hydrodynamik hinsichtlich des Widerstandsproblems eines angeströmten sehr langen Kreiszylinders (ebenes Problem). In: Widerstandsmessungen an umströmten Zylindern von Kreis- und Brückenpfeilerquerschnitt. Mitteilungen der Preußischen Versuchsanstalt für Wasserbau und Schiffbau, Berlin, vol 4. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-5394-9_2
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