Interpolation. Steigungen und Differenzen

Zusammenfassung

Bei der Taylorschen Formel (§ 28) hatten wir uns die Aufgabe gestellt, ein Polynom zu finden, das eine gegebene Funktion in der unmittelbaren Umgebung eines Punktes approximiert. Wir stellen uns nun eine ähnliche Aufgabe. Wir suchen wieder ein eine gegebene Funktion approximierendes Polynomφ(x) vom Grad n−1, verlangen aber jetzt, daß φ(x) an n verschiedenen Stellen x _i dieselben Funktionswerte y _i annimmt wie f(x). Geometrisch bedeutet das, daß wir durch die n Punkte mit den Koordinaten x _i , y _i (i = 1, 2,…, n) eine Parabel n−1-ter Ordnung hindurchzulegen haben. Diese Aufgabe heißt Interpolation; für n = 2, 3, 4 spricht man insbesondere von einer linearen, quadratischen und kubischen Interpolation. Zur Lösung der Aufgabe genügt es offenbar, wenn von der gegebenen Funktion f(x)überhaupt nur die Funktionswerte y _i = f(x _i ) an den Stellen x _i bekannt sind. Dieser Umstand ist für die Anwendungen besonders wichtig, weil ja empirisch, also durch irgendwelche Beobachtungen ermittelte funktionale Zusammenhänge stets nur in der Form derartiger Tabellen der Werte der unabhängigen und der abhängigen Veränderlichen bekannt sind. Aber auch Funktionen, deren Verlauf sehr wohl bekannt ist und deren Funktionswert für jede beliebige Stelle des Definitionsbereichs durch einfaches Ausrechnen oder durch eine Reihenentwicklung mit beliebiger Genauigkeit bestimmt werden kann, werden für das praktische Rechnen sehr häufig in Tabellenform dargestellt, man denke nur an die Logarithmentafeln oder an die verschiedenen Tafeln für die Quadrate, Kuben, Quadratwurzeln usw. Die Aufgabe der Interpolation tritt auch bei solchen Tabellen stets auf, nur sind z. B. die Logarithmentafeln so ausgeführt, daß man für die Berechnung der Zwischenwerte mit einer linearen Interpolation auskommt.