Parameterdarstellung einer Funktion oder Kurve. Vektoren in der Ebene

Zusammenfassung

Es sei y = f(x)definiert in einem offenen oder abgeschlossenen Intervall J. Existieren dann zwei Funktionen¹

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mit einem gemeinsamen Definitionsbereich J₁, ist ferner der Wertevorrat von x(t) zumindest eine Teilmenge von J und besteht die Identität

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für alle t aus J₁, so heißen x(t) und y(t) eine Parameterdarstellung der Funktion y = f(x) oder der durch y = f(x) dargestellten Kurve. Die unabhängige Variable t wird dabei als Parameter bezeichnet. Derartige Parameterdarstellungen von Kreis und gleichseitiger Hyperbel sind uns bereits in § 23, 4 und § 24, 2 begegnet. Sie sind im allgemeinen besonders dann zweckmäßig, wenn es sich um vorwiegend geometrische Untersuchungen von Kurven handelt, da in der Parameterdarstellung im Gegensatz zur expliziten Darstellung die Koordinaten eines Kurvenpunktes gleichberechtigt und nicht eine vor der anderen ausgezeichnet erscheinen. Es ist ja in der Regel so, daß bei einer Gleichung der Form y = f(x) die Funktion f (x) im Vordergrund des Interesses steht und daß man sich der geometrischen Deutung, also der Bildkurve y = f(x) nur zur Veranschaulichung gewisser Eigenschaften der Funktion bedient. Anders ist es, wenn man eine Kurve C als geometrisches Gebilde zu untersuchen hat; hier wird man aus naheliegenden Gründen eine bevorzugte Behandlung einer der Koordinaten vermeiden und — sofern man überhaupt analytische Geometrie treibt — entweder die implizite Darstellung F(x, y) = 0 oder eine Parameterdarstellung x = x(t)y = y(t) der Untersuchung zugrunde legen.