Konvergenz und Divergenz der Reihen

Zusammenfassung

Mit unendlichen Reihen haben wir uns schon gelegentlich unserer Untersuchungen über Zahlenfolgen in § 3 und § 4 beschäftigt, wo wir im Zusammenhang mit der Behandlung der geometrischen Reihe (§ 4, 3) feststellen konnten, daß sich die Frage der Konvergenz einer unendlichen Reihe auf die Konvergenz von Zahlenfolgen in höchst einfacher Weise zurückführen läßt. Wir wollen uns im folgenden von einem allgemeineren Standpunkt aus mit den unendlichen Reihen befassen und ihre wichtigsten Eigenschaften kennenlernen. Ich möchte schon hier hervorheben, daß diese Untersuchungen nicht nur in theoretischer Hinsicht, sondern vor allem auch für das praktische Rechnen von der größten Bedeutung sind. Ich erinnere Sie daran, daß die Berechnung der transzendenten Zahlen π und e, die Berechnung der Logarithmentafeln und der Tabellen für die Winkelfunktionen im wesentlichen mit Hilfe von Reihenentwicklungen erfolgt; dasselbe gilt auch für die Tabellen anderer praktisch wichtiger Funktionen, die Sie später kennenlernen werden. Eine sehr große Rolle spielen Reihenentwicklungen ferner bei der numerischen Berechnung mancher Integrale sowie bei der Lösung von Differentialgleichungen.