Theoretical Considerations on the Translational-Rotational Motion of Two Attracting Spheroidal Bodies

Abstract

Consider two massive spheroidalbodies (oblate ellipsoids of revolution) rotating about their polar axes and attracting each other according to Newton’s law of gravitation. The total energy of the system can be expressed as a double power series in the meridional eccentricities of the spheroids. The equations for the relative motion of the centroids and for the angular motion of the two sets of body axes, with respect to an inertial barycentric reference system, constitute a system of seven nonlinear differential equations of the second order. Following Kondurar’s approach (Soviet Astronomy, October, 1961), the solutions of the differential system have been expressed as power series of two small parameters (the squares of the meridional eccentricities), each approximation satisfying a system of linear differential equations depending on lower order approximations. The paper deals with first-order perturbations having considered an elliptic Kepler orbit as the zero-order approximation for the relative motion of the centroids. The mean anomaly of the unperturbed elliptic motion was chosen as the independent variable, thus requiring the expression of the Hansen coefficients to perform the transformation from true to mean anomaly. Explicit expressions have been obtained for the perturbations of the coordinates of the centroids, the nutation and precession angles of the body axes as functions of the mean anomaly and in terms of the orbital eccentricity and the two meridional eccentricities (thes e three quantities being considered of the same order of magnitude). Secular and periodic terms were obtained. Abrief discussion of the results was undertaken for the case of an oblate artificial satellite moving in the gravitational field of an oblate Earth. The formulae of this paper are, however, applicable to the general case of two celestial bodies of comparable masses and agree, under the assumption of rigidity, with Z. Kopal’s results (Close Binary Systems, 1959).

Résumé

Considérons deux corps massifs de forme sphéroodale (ellipsoodes de révolution applatis), tournant autour de leurs axes polaires, et soumis h un champ d’attraction réciproque conforme h la loi de gravitation de Newton. L’énergie totale du système peut étre exprimée h l’aide d’un double déve loppement en série ordonné suivant les excentricités des méridiennes des spheroldes. Les équations du mouvement relatif des sphero’des, ainsi que le mouvement angulaire des deux systèmes d’axes liés aux corps, conformémenthun système de référence d’inertie barycentrique, constituent un système de sept équations non-linéaires du second ordre. Pour suivant Pap-proximation énoncée par Kondurar (Soviet Astronomy, Oct. 1961), la solution du système différentiel a été exprimée h l’aide d’un développement en série de deux petits paramètres (les carrés des excentricitiés des maridiennes), chaque approximation satisfaisant un système d’équations linéaires dependant d’un degré d’approximation inférieur. La présente note traite les perturbations du premier ordre en considérant une orbite de Kepler comme étant une approximation d’ordre zero pour le mouvement relatif des centres. L’anomalie moyenne du mouvement elliptique non-perturbe fit choisie comme variable indépendante, ceci nécessitant l’introduction des coefficients de Hansen pour réaliser la transformation d’anomalie vraie en anomalie moyenne. Des expressions explicites ont été obtenues pour les perturbations relatives aux coordonnées des centres, les angles de nutation et de precession des axes liés aux corps, en fonction de l’anomalie moyenne, (paramètres l’excentricité de l’orbite et les deux excentricités des méridiennes;les trois quantités considérées comme étant du méme ordre de grandeur). Des termes séculairs et périodiques furent ainsi obtenus. Une brève discussion des resultats est entreprise pour le cas d’un satellite artificiel aplati, se déplaçant dans le champ de gravitation d’une Terre aplatie. Les formules de cette note sont, cependant, applicables au cas général de deux corps célestes de masses comparables, et sont en bon accord, moyennant l’hypothèse de rigidité, avec les resultats de Z. Kopal (Close Binary Systems, 1959).

абстрактный

Рассмотрим два массивных сфероидальных тела (облатные эллипсоиды вращения), вращающихся вокруг своих полярных осей и взаимно притягивающихся по закону Ньютона. Общая энергия системы выражается двухстепенной серией в меридиональных эксцентритетах сфероидов. Уравнения для относительного движения центроидов и для углового движения двух комплектов тельных осей, по отношению к инерциальной, барицентрической, референциальной системе составляют систему из семи нелинеарных, дифференциальных уравнений второго порядка. Применяя метод Кондураря (Астрономический журнал, февр. 1961. В переводе из “Soviet Astronomy,” октябрь 1961), автор выразил решения дифференциальной системы посредством степенных серий двух малых параметров (квадратами меридиональных эксцентритетов), причем каждое приближение удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений, зависимых от приближений более низких порядков.

В этой статье рассматриваются пертурбации первой степени, зависимые от эллиптических орбит Кеплера, как приближение нулевого порядка для относительного движения центроидов. Средняя аномалия непертурбированого эллиптического движения была выбрана, как независимая переменная, для чего требовалось применение коэффициентов Гансена (Hansen Coefficients), для превращения истинных аномалий в средние. Непосредственные выражения были получены для пертурбаций координат центроидов и для углов ньютации и прецессии тельных осей, как функции средней аномалии и орбитных, а также двух меридиональных эксцентритетов. (Эти три величины были выбраны равновесно). Таким образом, получились секулярные и периодические члены. Рассматривались также результаты для случая облатого, искусственного спутника, движущегося в гравитационном поле облатной земли. Однако формулы этой статьи применены и для общего случая двух небесных тел с равными массами, что, при гипотезе жесткости, согласно с результатами 3. Копала опубликованными в его книге (“Close Binary Systems”, 1959 r.).

The author is indebted to Professor J. Kovalevsky of the Bureau des Longitudes for having brought to his attention a number of earlier papers by Kondurar and Duboshin published in various Soviet journals, discussing both the rotational and translational aspects in the motion of two bodies.