Optimum Contour Heat-Rejection Fins Cooled by Radiation. Part II

Abstract

The problem of an optimum contour fin for one-sided heat supply and prescribed minimum fin thickness has been analyzed previously (Part I). The cross-section area (and the weight, respectively) were shown to be proportional to the cube of heat flux Q_o, removed by the fin. Thus, if the flux Q_∑ is removed by “n” fins (Q_∑ = nQ_o) and their mutual irradiation is neglected, the total cross-section area of the fins (and their weight) would decrease inversely proportional to n². An optimum combination of two radiating fins and a tube with inner heating, lying in the same plane, is considered (n = 2) for tube geometry and temperature prescribed. It is shownthat for a prescribed amount of heat rejected per tube unit length, the minimum weight of the tube is twice less than that of a tube without fins. Several radiating fins may be arranged, for example, starwise at the apexes of a cooled polyhedron. From n > 2 mutual irradiation of the fins and the polyhedron is of importance, and optimum number of fins and the corresponding optimum cross-section area are defined by it. A corresponding variational problem for prescribed values of initial temperature and the amount of heat, radiated by the polyhedron with fins, is analyzed. It is demonstrated that for n = 4 the total cross-section-area (and the weight) of optimum fins is reduced about 7 times, instead of n² = 16, when mutual irradiation is not taken into consideration.

Résumé

Dans la première partie on a envisagé un problème de contour optimum d’ailette de transmission de chaleur à un seul côté et d’épaisseur d’ailette donnée minimum. On montre, que la surface de la section (et le poids conformément) de l’ailette optimum est proportionnelle au cube d’écoulement thermique Q_∑ mené par une ailette. Ainsi, si l’écoulement thermique donnée mène quelques n des ailettes (Q_∑ = nQ_o) la surface sommaire de section des ailettes (et leur poids) diminuera inversement proportionnel à n² sans compter l’irradiation réciproque. On a envisagé une combination optimum des deux ailettes de refroidissement situées dans une surface (n = 2) d’un tube à géométrie et à température données et chauffé de dedans. On montre, qu’avec la dérivation donnée de chaleur à l’unité de longueur de tube, le poids minimum du tube avec les ailettes peut être 2 fois moindre, que pour le tube sans ailettes. On peut situer une série d’ailettes de refroidissement, en forme d’étoile aux sommets du polyèdre refroidi, par exemple. Dans ce cas à n > 2 une irradiation réciproque des ailettes et de polyèdre est essentielle. Le compte d’irradiation définit le nombre optimum des ailettes et la forme correspondante optimum de section des ailettes. On a envisagé un problème de variation aux température initiale et l’écoulement total de chaleur données, dont le polyèdre aux ailettes émet. On donne des exemples de calcul. On montre, que pendant le changement de nombre des ailettes à n = 4, la surface sommaire de section (et le poids) des ailettes optima diminue en ^~ 7 fois, au lieu de n² = 16 fois sans compter l’irradiation réciproque des ailettes.

абстрактный

В первой части была рассмотрена задача об оптимальном контуре ребра при одностороннем подводе тепла к ребру и заданной минимальной толщине ребра. Показано, что площадь сечения (соответственно и вес) оптимального ребра пропорциональна кубу теплового потока Q_o отводимого ребром. Поэтому, если заданный тепловой поток Q_∑ будут отводить несколько п ребер (Q_∑=nQ_o), то без Учета их взаимного облучения суммарная площадь сечения ребер (и их вес) будет уменьшаться обратно пропорционально n². Рассмотрено оптимальное сочетание двух расположенных в одной плоскости теплоотводящих ребер (n = 2) с нагреваемой изнутри трубкой с заданной геометрией и температурой. Показано, что при заданном отводе тепла на единицу длины трубки минимальный вес трубки с ребрами может быть в ~ 2 раза меньше, чем для трубки без ребер. Ряд теплоотводящих ребер можно расположить, например, звездообразно у вершин охлаждаемого многогранника; при этом с n > 2 существенно взаимное облучение ребер и многогранника, учет которого определяет оптимальное количество ребер и соответствующую оптимальную форму сечения ребер. Рассмотрена соответствующая вариационная задача при заданных начальной температуре и полном потоке тепла, который излучается многогранником с ребрами. Приведены примеры расчета. Показано, что при переходе от одного ребра к n = 4 суммарная площадь сечения (и вес) оптимальных ребер уменьшается в ~ 7 раз, вместо n² =16 раз без учета взаимного облучения ребер.

For Part I see report to XIIth International Astronautical Congress, Washington, October 1961; Astronaut. Acta 8, 232–239 (1962).

Doctor of Physical-Mathematical Sciences. Editor R. I. Mechanica.