Lineare Vektorfunktionen. Tensoren

Zusammenfassung

So wie Skalare durch funktionale Abhängigkeiten miteinander verknüpft sein können, gibt es in der Geometrie und in der Physik viele Fälle, in denen Vektoren mit Skalaren oder wieder mit Vektoren verknüpft sind. Beispiele der ersten Art haben wir in § 6 gebracht; ist A _i ein fester, X _i ein beliebiger (variabler) Vektor, so ist durch das innere Produkt

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(8,01)

jeder bestimmten Wahl des Vektors X _i ein Wert des Skalars φ zugeordnet. Auch der Fall, daß einem Skalar ein Vektor zugeordnet ist, ist uns in (3, 05) begegnet, wenn wir dort A _i als festen Vektor und A als Variable ansehen. Wir wollen uns hier vor allem mit jenen Fällen beschäftigen, wo einem Vektor wieder ein Vektor zugeordnet ist. Denken wir beispielsweise an die Bewegung eines Massenpunktes unter dem Einfluß einer Kraft K _i . Die Beschleunigung b _i , die der Massenpunkt erfährt, ist von K _i abhängig und durch sie bestimmt Wenn der Punkt frei beweglich ist, wird die Richtung von b _i mit der von K _i übereinstimmen, d. h. es wird b _i = λK _i sein, wo λ ein fester skalarer Faktor ist. Legen wir aber dem Punkt die Bedingung auf, in einer festen Ebene ε zu bleiben, so werden b _i und K _i im allgemeinen, d. h. wenn nicht auch K _i in ε liegt, verschiedene Richtungen haben (Abb. 16a). Einen noch allgemeineren Fall erhalten wir, wenn eine Kraft K _i auf das Ende einer auf einer festen Unterlage befestigten Schraubenfeder wirkt (Abb. 16b).