Die geometrischen Eigenschaften der Vektorfelder

Zusammenfassung

Wie bereits in § 23 ausgeführt, benützt man zur Darstellung von Vektorfeldern häufig die Feldlinien, also die Raumkurven, die in jedem Punkt in der Richtung des Feldvektors verlaufen, so daß die Feldvektoren, abgesehen von der Länge, Tangentenvektoren der Feldlinien sind. Für die Feldlinien gilt die Differentialgleichung (23, 06)

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Nun genügen im allgemeinen die Feldlinien nicht, um das Vektorfeld vollständig zu beschreiben, aber die den Bereich des Vektorfeldes erfüllende Schar der Feldlinien wird sicherlich wesentliche Eigenschaften des Vektorfeldes widerspiegeln. Es ist daher naheliegend, zu untersuchen, welche Eigenschaften des Feldes bereits im Verlauf der Feldlinien ihren Ausdruck finden. Wir vervollständigen dazu zunächst die in § 23 gegebene Einteilung der Felder durch den Begriff des flächennormalen Feldes. In den §§ 27 und 28 haben wir bereits darauf hingewiesen, daß die wirbelfreien Felder flächennormal sind, da bei ihnen die Feldlinien senkrecht auf den Niveauflächen stehen. Wir fassen jetzt den Begriff allgemeiner, indem wir bloß; verlangen, daß zu den Feldlinien orthogonale Flächen existieren sollen, ohne daß diese gerade die Niveauflächen eines Potentials sein müssen. Damit ergibt sich die Frage, ob diese Eigenschaft nur den wirbelfreien Feldern zukommt, oder ob auch andere Felder mit der gleichen Eigenschaft bestehen.