Die Grundgesetze der Wärmeleitung

Zusammenfassung

Die Theorie der Wärme lehrt, daß in einem Punkte eines Körpers mit den rechtwinkeligen kartesischen Koordinaten x, y, z zur Zeit t eine Temperatur T (x, y, z, t) herrscht, die durch die partielle Differentialgleichung

$$\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = a\Delta T + \frac{W}{{c\gamma }} $$

(I,1)

beschrieben ist. Das Symbol d bedeutet hierin den LAplaceschen Operator, der in den benützten Koordinaten die Form

$$\Delta T = \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}} $$

(I,2)

hat. Das spezifische Gewicht ist mit γ, die spezifische Wärme — d. i. jene Wärmemenge, die notwendig ist, die Temperatur der Gewichtseinheit um I^o zu erhöhen — mit c bezeichnet. a bedeutet die Temperaturleitfähigkeit oder Temperaturleitzahl des Materials; sie ist durch den Quotienten

$$a = \frac{\lambda }{{c\gamma }} $$

(I,3)

worin λ die Wärmeleitfähigkeit vorstellt, definiert. λ setzt die durch ein Flächenelement dF mit der Normalen n während der Zeit dt durchfließende Wärmemenge dq mit dem Temperaturgradienten ∂T/∂n in Beziehung; es gilt

$$dq = - \lambda \frac{{\partial T}}{{\partial n}}dF dt. $$

(I,4)

Carslaw and Jaeger, Fürth, Gröber und Erk, Jakob, Ten, Bosch.