Die Integration der Funktionen von mehreren Veränderlichen

Zusammenfassung

Mit Integralen als Funktionen der Grenzen haben wir uns bereits in I, § 13 beschäftigt. Etwas ganz anderes liegt vor, wenn der Integrand neben der Integrationsveränderlichen noch von einer zweiten unabhängigen Veränderlichen abhängt, wenn es sich also um eine Funktion der Gestalt

$$g(x) = \int\limits_a^b {f(x,y)} dy$$

(I)

handelt. Hier ist y die Integrationsveränderliche und x eine zweite unabhängige Veränderliche oder ein Parameter. Die Grenzen a und b seien dabei zunächst konstant und die Funktion f (x, y) sei in dem abgeschlossenen Rechtecksbereich R

$$\alpha \leqslant x \leqslant \beta ,\;\;\;\;\;\;\;a \leqslant y \leqslant b$$

eindeutig und stetig. Geometrisch ist g(x) der Inhalt des über der Strecke $\overline {AB}$ (Abb. 84) von der Schnittkurve der Fläche z = f (x, y) mit der Ebene x = konst. bestimmten Normalbereiches. Man integriert also die Funktion f (x, y) längs der Strecke $\overline {AB}$, wie man diesen Sachverhalt kurz ausdrückt.