Zusammenfassung
Die Theorie der additiven Maße wurde von zwei verschiedenen Seiten entwickelt: das eine Mal bildet das (axiomatisch erklärte) „Maß“ den Ausgangspunkt1, das andere Mal das „äußere“ oder auch das „innere Maß“ 2. Es ist eine naheliegende Aufgabe, diese Theorien untereinander zu verbinden und zugleich die Verallgemeinerung auf Inhalte einzubeziehen. Zu dieser Verallgemeinerung gibt auch das Verhalten der „inneren Inhalte“ Anlaß, deren Summenungleichung stets für abzählbar viele Summanden gilt, so daß also hierin zwischen einem inneren Inhalt und einem inneren Maß überhaupt nicht unterschieden werden kann. Einige Sätze zu dieser Aufgabe habe ich bereits an anderer Stelle angegeben3. Die vorliegende Abhandlung bringt weitere Ergebnisse auf Grund einer systematischen Untersuchung. Es entsteht so eine in sich geschlossene Theorie, die u. a. die Rosenthalsche Charakterisierung4 der inneren Maße, die zu den regulären äußeren Maßen Carathéodorys gehören, neuerdings liefert, ferner die Sätze von H. Hahn über die Erweiterung eines total-additiven Inhalts zu einem vollständigen Maße5.
Gedruckt aus Mitteln des Vereins der Freunde der Österreichischen Akademie der Wissenschaften in Wien
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Literatur
S. etwa 0. Haupt-G. Aumann, Differential-und Integralrechnung, Berlin 1938, Bd. III, Abschn. I.
C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig und Berlin 1918, Kap. V, VI. Ferner H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen, Berlin 1921, Kap. V, § 5–8.
K. Mayrhofer, Ober vollständige Maße, Monatsh. f. Math. 52 (1948), S. 217–29. — Diese Arbeit wird im Folgenden mit M zitiert.
A. Rosenthal, Beiträge zu Carathéodorys; Meßbarkeitstheorie, Nachr. Ges. VViss. Göttingen 1916, S. 305–21.
H. Hahn, Über die Multiplikation total-additiver Mengenfunktionen, Ann. di Pisa (2) 2 (1933), S. 429–52. Siehe etwa das Beispiel bei O. Haupt-G. Aumann ’, S. 10.
Bezüglich der im Folgenden benützten Eigenschaften der Inhalte und Maße s. O. Haupt-G. Aumann 1, I. Abschn.
Um dies zu sehen, braucht man für i nur den Jordanschen Inhalt des eil zu wählen und die Mengen, die aus den einzelnen rationalen Punkten bestehen, zu betrachten.
Dieser Teil des Beweises ist ähnlich zum Beweise von Satz III auf S. 425 bei H. Hahn 2 geführt.
Enthält A eine größte Menge Si, so folgt die Meßbarkeit von — 21 unmittelbar aus dem vorher Bewiesenen wegen 0— 21 = 91 — UN— 0) + 21]. E6 Bis hieher verwendet der Beweis nur A1 (aber nicht A2, A3, A4).
Hiernach folgt Satz 14 im Falle eines gewöhnlichen äußeren Inhalts L* auch aus der Bemerkung im Anschlusse an die Definition des vollständigen Inhalts in 1.
Trotz der Gültigkeit von (2) braucht der Definitionsbereich von t auch dann kein 6-Körper zu sein, falls A ein solcher ist; i ist dann kein Maß. Dies zeigt schon der Jordansche innere Inhalt, wenn man die abschließende Bemerkung in 2 beachtet. Satz 20 kann also auf i nicht übertragen werden.
Würde man ein 9J26A „für i* meßbar“ nennen, falls (3) bei beliebigem 2 mit endlichem t* gilt, so würden diese »schwach-meßbaren” Mengen 131 noch einen Körper bilden; die Additivitüt des entsprechenden „Inhalts“ braucht aber nicht mehr zu bestehen. Z. B. sind für die eben betrachtete Innenfunktion des Maßes m aus M 1, Beisp. 3 alle 9716A schwach-meßbar. Der entsprechende Inhalt im augenblicklichen Sinne ist also i* selber. c* ist aber nicht additiv, wegen.
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Mayrhofer, K. (1950). Über den Zusammenhang der additiven Inhalts- und Maßtheorien. In: Über den Zusammenhang der additiven Inhalts- und Maßtheorien. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-3960-8_1
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