Potenzreihen

Zusammenfassung

Unter einer Potenzreihe (in einer Veränderlichen) versteht man ganz allgemein eine unendliche Reihe

$$\sum\limits_{v = 0}^\infty {{a_v}} {(x - {x_0})^v};$$

setzt man x — x ₀ = h, so ergibt sich

$$\sum\limits_{v = 0}^\infty {{a_v}} {h^v};$$

man kommt also zu dieser einfachen Gestalt durch eine Verschiebung des Anfangspunktes auf der Zahlenlinie in den Punkt x ₀, so daß wir der Allgemeinheit unserer Untersuchungen keinen Abbruch tun, wenn wir die Potenzreihe von vornherein

EquationSource % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaaca % WGHbWaaSbaaSqaaiaadAhaaeqaaaqaaiaadAhacqGH9aqpcaaIWaaa % baGaeyOhIukaniabggHiLdGccaWGObWaaWbaaSqabeaacaWG2baaaO % Gaai4oaaaa!414C!]] </EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\sum\limits_{v = 0}^\infty {{a_v}} {x^v};$$

(I)

schreiben, wobei wir statt h wieder x setzen. Die Potenzreihen sind also ein spezieller und besonders einfacher Fall der in § 36 diskutierten Funktionenreihen; in gewisser Hinsicht können sie auch als Verallgemeinerungen der Polynome angesehen werden; ihre Teilsummen sind Polynome. Beispiele sind uns schon untergekommen: sowohl die geometrische Reihe (§ 4, 3) wie auch die binomische Reihe (§ 35, 3) ist eine Potenzreihe; bei der ersteren ist a _ν = i, bei der letzteren EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyamaaBa % aaleaacaWG2baabeaakiabg2da9iaacIcafaqabeGabaaabaGaeqyS % degabaGaamODaaaacaGGPaaaaa!3D11!]] </EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$${a_v} = (\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ v \end{array})$$.