Konvergenzkriterien

Zusammenfassung

Eine der gebräuchlichsten Methoden zur Feststellung der Konvergenz einer gegebenen Reihe beruht auf dem Vergleich mit einer anderen Reihe, deren Konvergenzverhalten bekannt ist. Ich gebe zunächst zwei einfache Begriffe: Es seien $\sum {{u_\upsilon }}$ die zu untersuchende Reihe und $\sum {{a_\upsilon }}$ bzw.$\sum {{b_\upsilon }}$ zwei andere Reihen mit positiven Gliedern (a _ν > o,b _ν > o); gilt nun von einem bestimmten Wert N ₁ an, also für ν ≧N ₁

$$\left| {{u_\upsilon }} \right| \leqslant {a_\upsilon } $$

, so heißt $\sum {{a_\upsilon }}$ eine Oberreihe oder Majorante von $\sum {{u_\upsilon }}$ ; gilt dagegen von einem bestimmten Wert N ₂ an, also für ν≧ N ₂

$$\left| {{u_\upsilon }} \right| \geqslant {b_\upsilon }$$

,so heißt  $\sum {{b_\upsilon }}$ eine Unterreihe oder Minorante von $\sum {{u_\upsilon }}$ . Die Methode der Reihenvergleichung gründet sich nun auf den folgenden Satz: