Weitere Anwendungen des Integralbegriffes in Geometrie und Mechanik

Zusammenfassung

Es sei y =f (x) > 0 in [a, b] stetig. Der Normalbereich über [a, b] rotiere um die x-Achse; zu berechnen sei das Volumen des so entstehenden Dreh- oder Rotationskörpers. Das Intervall [a, b] werde durch die Punkte x ₀ =a, x ₁, x ₂, ..., x _n =b in n Teilintervalle von den Längen Δx _i = x _i — x _{i −1} zerlegt und in jedem Teilintervall der Drehkörper durch eine zylindrische Scheibe vom Radius f(ξ _i ) und der Höhe Δ x _i approximiert, wobei x _{i −1} ≦ ξ _i ≦ x _i ist (Abb. 120). Durchlaufen die Teilungspunkte eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von [a, b], so wird das gesuchte Volumen gleich dem Grenzwert der Summe der Zylindervolumina¹

$$V = V\left( {a,b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{l \to 0} \,{\sum\limits_{l \to 0}^n {\left[ {f\left( {{\xi _i}} \right)} \right]} ^2}\pi \Delta {x_i} = \pi {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right)} \right]} ^2}dx$$

oder kurz

$$V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}} dx.$$

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