Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen

Zusammenfassung

Wir bezeichnen die rechtwinkeligen Koordinaten eines Punktes mit ξ, η und betrachten den Einheitskreis (Kreis vom Radius I, Abb. 75)

$${\xi ^2} + {\eta ^2} = 1.$$

Dieser Kreis wird orientiert, indem man einen bestimmten Durchlaufungssinn, und zwar den dem Drehungssinn des Uhrzeigers entgegengesetzten, als positiv auszeichnet¹. Die vom Punkt A = (I,0) aus bis zu einem beliebigen Punkt P = (ξ, η) des Kreises gemessene Bogenlänge sei x; x ist dabei positiv oder negativ, je nachdem der Kreisbogen von A aus im positiven oder negativen Sinn durchlaufen wurde. Es würde genügen, x auf das Intervall [0, 2 π) zu beschränken, um alle Punkte des Kreises zu erhalten; wir wollen aber hier auf die Eindeutigkeit der Zuordnung von Kreispunkten und Zahlen x verzichten und für x alle reellen Werte zulassen. Zum Punkt P gehören dann unendlich viele Bogenlängen, die sich um ganzzahlige Vielfache von 2 π unterscheiden. Ist x ₀ der kleinste nicht negative Wert, der als Bogenlänge für P in Betracht kommt — es ist dann sicher 0 ≦ x < 2π —, so sind alle P zugeordneten Bogenlängen durch

$$x = {x_0} + 2\;k\pi $$

gegeben, wobei k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ..., also eine beliebige ganze Zahl ist. Umgekehrt gehört natürlich zu jeder reellen Zahl x ein ganz bestimmter Punkt des Einheitskreises.