Zusammenfassung
Während nach den Ergebnissen des fünften und sechsten Abschnittes für symmetrische Fälle die beiden ersten kritischen Drehzahlen mit großer Schärfe bestimmt werden können, ist dies für die unsymmetrischen Fälle bloß hinsichtlich der ersten kritischen Drehzahl der Fall, während sich nach dem im zweiten Abschnitt entwickelten Verfahren für die zweite kritische Drehzahl oftmals bloß eine obere Schranke ermitteln läßt, die in besonders unsymmetrischen Fällen vom wahren Wert ziemlich weit abstehen kann. Die im vierten Abschnitt hergeleitete Beziehung (50) bestimmt zwar in diesen Fällen die zweite kritische Drehzahl sehr genau, erfordert aber bedeutenden Rechenaufwand. Deshalb soll in diesem Abschnitt der Versuch unternommen werden, die zweite kritische Drehzahl der unsymmetrischen Fälle ohne Mitbestimmung der ersten, die ja nach Abschnitt 2 ohne viele Mühe sehr genau errechnet werden kann, unmittelbar zu ermitteln.
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Literatur
Theory of sound Vol.I S. 110, 112, London 1894; man vgl. auch A. Stodola: Dampfturbinen, S. 391.
Man vgl. hierzu auch A. Stodola: Dampfturbinen, S. 914–916. Ganz analog, wie im folgenden dargelegt ist, verfährt übrigens auch K. Federhofer in seiner bemerkenswerten Arbeit: Grundschwingzahlen der elastischen Querschwingungen dreifach gelagerter Träger. Bautechn. 1933 Heft 47, wobei die wandernde Mittelstütze jeweils einen Schwingungsknoten erzwingt. Man vgl. insbesondere die Abb. 1 dieser Arbeit mit den Abb. 27 und 28 der vorliegenden Untersuchung. Eine sehr klare Darstellung der Max.-Min.-Eigenschaft des zweiten Eigenwertes findet man in der auch sonst sehr lesenswerten Arbeit von K. Hohenemser: Beitrag zur Dynamik des elastischen Stabes mit Anwendung auf den Propeller. Z. Flugtechn. Motorluftsch. Bd. 23 (1932) S. 37. Dort findet sich auch eine schöne Ableitung des Rayleigh-schen Satzes. Daß die n-te Oberschwingung eines Stabes immer n Knotenpunkte besitzt, ist erwiesen durch eine Arbeit von K. Hohenemser und W. Prager: Über die Anzahl der Knotenpunkte bei erzwungenen und freien Stabschwingungen. Z. angew. Math. Mech. Bd. 11 (1931) S. 92. Man vgl. auch die in23 erwähnte Arbeit von K. Hohenemser, insbes. die Abschnitte 6 bis 8, sowie R. v. Mises und Pollaczek-Geiringer: Praktische Verfahren der Gleichungsauflösung. Z. angew. Math. Mech. Bd. 9 (1929) S. 58 und S. 152, insbesondere S. 156. Man vgl. auch K. Hohenemser und W. Prager: Dynamik der Stabwerke, III, 16: Obertöne, S. 216, insbes. Abb. 96, S. 220. Berlin 1933.
Die letzteren können vom Verfasser bezogen werden.
Es wurde schon oben erwiesen, daß in diesem Falle die Kreiselwirkung der noch dazu im Durchmesser stark veränderlichen Laufscheiben die zweite kritische Drehzahl bei synchronem Gleichlauf nahezu verhindert und in solchen Ausnahmsfällen kann es wohl geschehen, daß trotz der Hinzunahme einer neuen Bedingung η″ (δ) = 0 eine schlechtere Näherung an die zweite Eigenfunktion zustande kommt, da hier eben der Wendepunkt offenbar nicht in die Nähe des Knotenpunktes fällt. In den meisten Fällen wird man aber durch (147) eine Verschärfung der Eigenwerte gegenüber (144) erzielen.
Man vgl. hierzu die unter19 erwähnte Arbeit von R. v. Mises oder die unter20 erwähnte Arbeit von E. Schwerin. Eine strengere Behandlung des Knickproblems gerader Stäbe findet man in den Arbeiten von E. Trefftz: Zur Frage der Holmfestigkeit. Z. F. M. 9. Jg. (1918) S. 101 und R. v. Mises: Ausbiegung eines auf Knicken beanspruchten Stabes. Z. angew. Math. Mèch. Bd. 4 (1924) S. 435. Eine strengere Behandlung der Auslenkung hinsichtlich des Kipproblems findet man in der Arbeit von K. Federhofer: Berechnung der Auslenkung beim Kippen gerader Stäbe. Z. angew. Math. Mech. Bd. 6 (1926) S. 43.
Damit steht wohl die Tatsache im Zusammenhang, daß die kritischen Drehzahlen bei synchroner Präzession im Gegenlauf so lange unbekannt blieben und erst, wie A. Stodola: Dampfturbinen, S. 368 erwähnt, durch seine Versuche erwiesen wurden. In der Tat ergibt sich sogar im Fall 3, Abb. 27 und erst recht im Fall 4, Abb. 28 wegen u″2 ≪u2≪u″2 bei synchronem Gegenlauf eine viel kleinere Zwangskraft für den Knoten C in Abb. 29, falls dieser aus seiner Gleichgewichtslage heraus verschoben wird, als bei fehlender Kreiselwirkung oder synchronem Gleichlauf.
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Karas, K. (1935). Ein Theorem von Rayleigh und seine Benutzung zur schärferen Bestimmung der zweiten kritischen Drehzahl in den unsymmetrischen Fällen. In: Die kritischen Drehzahlen wichtiger Rotorformen. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-3063-6_9
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