Zusammenfassung
Wir kommen nun zur Durchführung des in Kapitel 6 aufgestellten Programms, alle Größen zu finden und zu klassifizieren, die sich bei Lorentztransformationen linear wie Tensoren verhalten, oder anders ausgedrückt: wir konstruieren alle endlichdimen-sionalen Darstellungen der Lorentzgruppe. Die sich aus den Vertauschungsrelationen ergebende adjungierte Darstellung ist die in Abschnitt 6.5 bereits betrachtete Darstellung im Raum der antisymmetrischen Tensoren; aus ihr entnimmt man die Halbeinfachheit der Lorentzgruppe (vgl. Abschnitt 7.4). Die endlichdimensionalen Darstellungen halbeinfacher Gruppen sind stets vollreduzibel1. Zu ihrer Klassifizierung genügt es also, die irreduziblen Darstellungen aufzusuchen. Als Fundamentaldarstellungen, aus deren Produkten man alle weiteren irreduziblen Darstellungen gewinnen kann, ergeben sich zwei zweidimensionale Spinordarstellungen. Wir entwickeln daher eine Spinoralgebra und geben den Zusammenhang mit Tensoren an. Schließlich betrachten wir Darstellungen der vollständigen Lorentzgruppe.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Referenzen
Beweise findet man in Hein (1990), Samelson (1990), Tits (1983). Die reelle Lorentzgruppe (math) ist sogar einfach, d.h. ohne nichttrivialen Normalteiler. Dies trifft aber nicht für die im folgenden verwendete Komplexifizierung SO(4,C) und die kompakte reelle Form SO(4,R) zu. Die höheren komplexen Drehgruppen sind einfach.
Vgl. aber die Bemerkungen in H. Joos, Fortschr. d. Physik 10, 65 (1962).
Allgemein haben zusammenhängende, halbeinfache, nicht kompakte Lie-Gruppen keine treuen endlichdimensionalen unitären Darstellungen.
Zu diesem und dem folgenden Abschnitt sei das Werk Penrose-Rindler (1984) wärmstens empfohlen!
R. Penrose hat versucht, aus der Tatsache, daß es sich um ein kombinatorisches Problem handelt, weitreichende Konsequenzen zu ziehen — siehe seinen Artikel in Klauder (1972).
Diese Darstellungen sind alle vollreduzibel, wie aus Aufgabe 3 dieses Abschnitts hervorgeht.
Ausführlicher für ganz V in Abschnitt 9.6 beschrieben!
Siehe z.B. Kälten (1965), Nachtmann (1986).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1992 Springer-Verlag Wien
About this chapter
Cite this chapter
Sexl, R.U., Urbantke, H.K. (1992). Darstellungstheorie der Lorentzgruppe. In: Relativität, Gruppen, Teilchen. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2289-1_8
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2289-1_8
Publisher Name: Springer, Vienna
Print ISBN: 978-3-211-82355-2
Online ISBN: 978-3-7091-2289-1
eBook Packages: Springer Book Archive