Zusammenfassung
Bevor’ wir die irreduziblen Darstellungen der Lorentzgruppe suchen, behandeln wir das gleiche Problem für die Drehgruppe SO(3,R). Vier Gründe sind dafür ausschlaggebend:
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a)
Die allgemeinen Methoden lassen sich anhand der Drehgruppe einfach erläutern.
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b)
Die in Abschnitt 6.5 erwähnte Isomorphic zwischen L+† und der komplexen Drehgruppe SO(3,C) läßt erwarten, daß analytische Fortsetzungen der Darstellungen von SO(3,R) zu solchen der Lorentzgruppe führen (wobei sich zwar nicht alle Darstellungen ergeben, die verbleibenden aber leicht ermittelt werden können).
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c)
Die unitären Darstellungen der Drehgruppe spielen in der Quantenmechanik des Drehimpulses eine wichtige Rolle, so daß sich leicht Querverbindungen zwischen den hier abstrakt behandelten Problemen zu physikalischen Anwendungen herstellen lassen.
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d)
Die Darstellungen von SO(3,R) werden in der Darstellungstheorie der Poin-caregruppe in Kapitel 9 benötigt.
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Referenzen
Hier verwenden wir, soweit angängig, die „Physikerversion“ davon, die unendlich kleine Größen anschreibt, statt Limiten zu betrachten.
Im folgenden schreiben wir kürzer SO(3) statt SO(3,R).
In Abschnitt 7.7 geben wir zu jeder Lie-Gruppe eine (unendlichdimensionale) treue Darstellung an.
Siehe dazu z.B. Neumark (1959).
Siehe aber A. Torruella, J. Math. Phys. 16, 1637 (1975).
Dies liegt aber hier nur an unseren für den unendlichdimensionalen Fall reichlich unpräzisen Definitionen!
Clebsch und Gordan waren wichtige Vertreter der „Invariantentheorie“, vgl. Weitzenböck (1923). Die Clebsch-Gordan-Reihe bestimmt die Struktur des Darstellungsringes.
Englisch: vector bundle; im Deutschen häufig: Vektorraumbündel.
Man beachte, daß diese Operation nur bei ungerader Raumdimension uneigentlich ist! 2 Für eine Anleitung zum Beweis siehe Aufgabe 5 oder Cartan (1966), Shaw (1983).
Vgl. die Bemerkung dazu im Anschluß an (5.5.14)!
D.h., diese Elemente kommutieren mit allen Gruppenelementen, sie liegen im Zentrum der Gruppe.
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© 1992 Springer-Verlag Wien
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Sexl, R.U., Urbantke, H.K. (1992). Darstellungstheorie der Drehgruppe. In: Relativität, Gruppen, Teilchen. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2289-1_7
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2289-1_7
Publisher Name: Springer, Vienna
Print ISBN: 978-3-211-82355-2
Online ISBN: 978-3-7091-2289-1
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