Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird der Zusammenhang zwischen den relativistischen Gleichungen für freie Felder und der Darstellungstheorie der Poincaré-Gruppe P hergeleitet. Nach einer kurzen Diskussion der Beschreibung von Invarianzeigenschaften im quantentheoretischen Formalismus werden wir uns der systematischen Theorie der unitären irreduziblen Darstellungen von P zuwenden.
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Literatur
Siehe Lehrbücher der Elementarteilchenphysik, wie Källen (1965), Bjørken-Drell (1966, 1967), Gasiorowicz (1966), Rollnik (1971), aber auch insbesondere Streater-Wightman (1969).
Wegen ihrer Bedeutung für die Teilchenphysik siehe z.B. Bjørken-Drell (1966) oder Källen (1965), κ = mc/h ist die reziproke Comptonwellenlänge des durch (9.3) beschriebenen Teilchens, vgl. Abschnitt 4.3.
Im letzteren Fall trägt Ai und das durch Umeichung Ai → Ai + ∂i Λ mit □ Λ = 0 (vgl. Abschnitt 5.2) daraus hervorgehende Feld dieselbe physikalische Information, ohne daß es möglich ist, durch eine kovariante Bedingung die Eichung eindeutig festzulegen. Sinnvollerweise ist daher hier als Darstellungsraum der Raum der Eich-Äquivalenzklassen anzusehen. Siehe Abschnitt 9.5.
E ist die 4 × 4-Einheitsmatrix, deren Vielfache wie κE im folgenden meist einfach als κ geschrieben werden.
In der Teilchenphysik wird C als „Ladungskonjugationsmatrix” bezeichnet; eine völlig einheitliche Konvention existiert hier aber nicht.
Ein antiunitärer Operator U ist antilinear, U(αx + βy) = α* Ux + β* Uy, und läßt den Betrag des Skalarproduktes invariant, <Ux,Uy>= <y,x>.
Hier und in Zukunft schreiben wir bei reinen Translationen £/(a,E) =: C/(a), bei homogenen Transformationen U(0,L) =: V(L); für infinitesimales (a’,L’) gilt auch in zweiwertigen Darstellungen rechts ein +-Zeichen.
Neuerdings wurden auch Tachyonen quantenmechanisch diskutiert, also Teilchen mit m2 < 0. Siehe z.B. G. Ecker, Ann. Phys. (N.Y.) 58, 303 (1970) und die dort zitierte Literatur.
a symbolisiert weitere, zur eindeutigen Charakterisierung des Vektors noch nötige Indizes; dabei behandeln wir — wie in der physikalischen Literatur üblich — das kontinuierliche Spektrum in formaler Analogie zum diskreten (siehe Neumark (1959) oder Riesz-Nagy (1956) wegen exakter Formulierung).
Irreduzible Bestandteile freier Felder propagieren unabhängig voneinander und können unabhängig gekoppelt werden. Es ist naheliegend, ihnen Teilchen zuzuordnen, die in irgend einem Sinn „elementar” sind. Die Elementarteilchenphysik hat jedoch noch nicht geklärt, welche Teilchen als elementar, welche als zusammengesetzt zu betrachten sind — im Gegenteil, es gibt sogar Versuche, jedes Teilchen aus allen andern bestehend anzusehen.
Wie Wechselwirkungen direkt im abstrakten Formalismus — ohne Realisierung durch Felder im x-Raum — formuliert werden können, diskutiert S. Weinberg, Phys. Rev. 133, 1318 (1964); 134, 882 (1964).
Wentzel (1949); Bogoljubov-Shirkov (1959); Roman (1960, 1969); Jost (1965); Björken-Drell (1966, 1967); Streater-Wightman (1969); Gasiorowicz (1975); Henley-Thirring (1975); Kastler (1961).
W. Thirring, Fortschr. Physik 7, 79 (1959)
W. Thirring, Ann. Phys. (N.Y.) 16, 96 (1961). Siehe auch Sexl & Urbantke (1975), Kap. 10. Mit O. Klein kann man argumentieren, daß die noch ausständige korrekte Inkorporation dieser gekrümmten Raum-Zeit in die Quantenfeldtheorie deren Struktur ebenso nachhaltig beeinflussen könnte wie die Inkorporation der speziellen Relativitätstheorie. In diesem Sinn könnte die Gravitation auch in der Mikrophysik von Bedeutung sein, doch ist man derzeit weit davon entfernt, hier Aussagen machen zu können.
Alle im folgenden betrachteten Felder sind komplexwertig. Realitätsbedingungen, wie sie zur Beschreibung neutraler Teilchen verwendet werden, werden wir — auch beim masselosen Vektorfeld — nicht auferlegen; auch wegen der C-Operation sei auf die angegebenen Bücher verwiesen. Realitätsbedingungen schränken die Zahl der enthaltenen irreduziblen Darstellungen ein.
nach Wahl einer speziellen Darstellung der γk, die ja auch nur bis auf Äquivalenz eindeutig sind!
Diese Matrizen finden auch in der Elektron-Positron-Theorie Verwendung, allerdings in leicht geänderter Deutung. Siehe z.B. Björken-Drell (1966).
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© 1976 Springer-Verlag Wien
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Sexl, R.U., Urbantke, H.K. (1976). Darstellungstheorie der Poincaré-Gruppe. In: Relativität Gruppen Teilchen. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2246-4_9
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2246-4_9
Publisher Name: Springer, Vienna
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