Darstellungstheorie der Lorentzgruppe

Zusammenfassung

Wir kommen nun zur Durchführung des in Kapitel 6 aufgestellten Programms, alle Größen zu finden und zu klassifizieren, die sich bei Lorentztransformationen linear wie Tensoren verhalten, oder anders ausgedrückt: wir konstruieren alle endlichdimensionalen Darstellungen der Lorentzgruppe. Die sich aus den Vertauschungsrelationen ergebende adjun-gierte Darstellung ist die in Abschnitt 6.5 bereits betrachtete Darstellung im Raum der antisymmetrischen Tensoren; aus ihr entnimmt man die Halbeinfachheit der Lorentzgruppe (vgl. Abschnitt 7.4). Die endlichdimensionalen Darstellungen halbeinfacher Gruppen sind stets vollreduzibel¹. Zu ihrer Klassifizierung genügt es also, die irreduziblen Darstellungen aufzusuchen. Als Fundamentaldarstellungen, aus deren Produkten man alle weiteren irreduziblen gewinnen kann, ergeben sich zwei zweidimensionale Spinordarstellungen. Wir entwickeln daher eine Spinoralgebra und geben den Zusammenhang mit Tensoren an. Schließlich betrachten wir Darstellungen der vollständigen Lorentzgruppe.